a ve b pozitif tam sayıları için 2a + 5b = 81 eşitliği veriliyor.
Buna göre a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Doğrusal Diophant Denklemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: ax + by = c biçimindeki Diophant denklemlerinde değişkenlerden birinin katsayısı kadar diğeri ters orantılı olarak artar veya azalır. Pozitif tam sayı şartı (a, b \in \mathbb{Z}^+) için a \ge 1 ve b \ge 1 eşitsizlikleri sağlanmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Eşitliği Düzenleme ve Teklik-Çiftlik Analizi
Verilen 2a + 5b = 81 denkleminde 2a ifadesi daima çifttir. Sonuç olan 81 tek sayı olduğundan, 5b ifadesi tek sayı olmak zorundadır. Bu durum b’nin pozitif bir tek tam sayı olduğunu gösterir.
2a = 81 - 5b
Adım 2 — Sınır Değerleri ve b’nin Değer Kümesini Belirleme
a pozitif bir tam sayı olduğundan 2a > 0 olmalıdır. Buradan:
81 - 5b > 0 \implies 5b < 81 \implies b \le 16
b sayısı 16’dan küçük pozitif tek tam sayılar olmak zorundadır:
b \in \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15\}
Adım 3 — a’nın Alabileceği Değerlerin Hesaplanması
b’nin her bir değeri için a değeri 5’er azalarak pozitif tam sayı üretir:
- b = 1 \implies 2a = 76 \implies a = 38
- b = 3 \implies 2a = 66 \implies a = 33
- b = 5 \implies 2a = 56 \implies a = 28
- b = 7 \implies 2a = 46 \implies a = 23
- b = 9 \implies 2a = 36 \implies a = 18
- b = 11 \implies 2a = 26 \implies a = 13
- b = 13 \implies 2a = 16 \implies a = 8
- b = 15 \implies 2a = 6 \implies a = 3
b’nin aldığı 8 farklı değere karşılık a’nın da 8 farklı pozitif tam sayı değeri bulunur.
CEVAP: D) 8 (a’nın alabileceği 8 farklı değer vardır)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İlk kök çiftini (a=38, b=1) bulduktan sonra tüm değerleri tek tek hesaplamak yerine; b değeri a’nın katsayısı kadar (+2), a değeri ise b’nin katsayısı kadar (-5) değişir kuralını uygulayarak son pozitif değere kadar olan terim sayısını doğrudan bulabilirsiniz.