a ve b pozitif tam sayılar, x gerçel sayi
a
= 16-x, b=x-4
olduğuna göre, a -b çarpımının alabileceği en
büyük değer kaçtır?
A) 28
C) 35
B) 30
D) 36
E) 42
BANKASE
a ve b pozitif tam sayılar, x gerçel sayı olduğuna göre, a · b çarpımının alabileceği en büyük değer kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
a ve b pozitif tam sayılar olduğundan, a > 0 ve b > 0 olmalıdır. Ayrıca, bir çarpımın en büyük değerini bulmak için çarpanların birbirine en yakın olması gerekir, eğer toplamları sabitse. Burada çarpımı P(x) = (16 - x^2)(x^2 - 4) olarak ifade edeceğiz ve x^2 için uygun aralığı bulup ardından parabolün tepe noktasını veya türevini kullanarak maksimum değeri araştıracağız.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a ve b için pozitiflik koşullarını belirleme
Verilenlere göre a = 16 - x^2 ve b = x^2 - 4.
a ve b pozitif tam sayılar olduğundan:
a > 0 \implies 16 - x^2 > 0 \implies x^2 < 16
b > 0 \implies x^2 - 4 > 0 \implies x^2 > 4
Bu iki eşitsizliği birleştirirsek, 4 < x^2 < 16 aralığını elde ederiz.
Adım 2 — Çarpım ifadesini tanımlama
a \cdot b çarpımını P(x) olarak ifade edelim:
P(x) = (16 - x^2)(x^2 - 4)
x^2 yerine u diyelim. Bu durumda 4 < u < 16 olur.
P(u) = (16 - u)(u - 4)
Adım 3 — Çarpım ifadesini açma ve maksimum değeri bulma
P(u) = 16u - 64 - u^2 + 4u
P(u) = -u^2 + 20u - 64
Bu ifade, kolları aşağı doğru olan bir paraboldür. Tepe noktasının apsisi (yani u değeri) parabolün maksimum değerini verir. Tepe noktasının apsisi u_T = -\frac{b}{2a} formülü ile bulunur, burada a=-1 ve b=20.
u_T = -\frac{20}{2(-1)} = -\frac{20}{-2} = 10
Adım 4 — u değerinin aralıkta olup olmadığını kontrol etme ve a, b’nin tam sayı koşulunu sağlama
Bulduğumuz u = 10 değeri 4 < u < 16 aralığındadır.
Şimdi u = x^2 = 10 için a ve b değerlerini hesaplayalım:
a = 16 - x^2 = 16 - 10 = 6
b = x^2 - 4 = 10 - 4 = 6
Gördüğümüz gibi a=6 ve b=6 pozitif tam sayılardır. Bu koşulu sağlayan bir x^2 değeri (yani u=10) bulduk. x^2=10 olduğundan x = \pm \sqrt{10} bir gerçel sayıdır.
Adım 5 — a · b çarpımının en büyük değerini hesaplama
a \cdot b = 6 \cdot 6 = 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 36
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Pozitif Tam Sayı Koşulu
- Tanım: Bir sayının 1, 2, 3, … gibi değerler alabilmesi durumudur. Negatif veya sıfır olamaz.
- Bu problemde: a > 0 ve b > 0 koşullarını kullanarak x^2 için bir aralık belirledik (4 < x^2 < 16).
2. Parabol ve Tepe Noktası
- Tanım: İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği parabol şeklinde olup, tepe noktası fonksiyonun maksimum veya minimum değerini verdiği noktadır. f(u) = au^2 + bu + c şeklinde bir parabolde, eğer a < 0 ise parabolün kolları aşağı doğru bakar ve tepe noktası maksimum değeri verir. Tepe noktasının u değeri -\frac{b}{2a} formülüyle bulunur.
- Bu problemde: P(u) = -u^2 + 20u - 64 fonksiyonunun en büyük değerini bulmak için tepe noktasının u değerini kullandık.
SIK YAPILAN HATALAR:
x’i tam sayı sanmak
- Yanlış: x’i tam sayı kabul edip, x^2 için de tam sayı değerleri denemek.
- Doğru: Problemde x’in bir gerçel sayı olduğu belirtilmiştir. Bu nedenle x^2 tam sayı olmak zorunda değildir, x^2 = 10 gibi değerler alabilir.
- Neden yanlış: Bu, x^2 için tüm olası değerleri gözden kaçırmaya ve dolayısıyla a \cdot b’nin en büyük değerini doğru bulamamaya neden olabilir.
Pozitiflik koşullarını göz ardı etmek
- Yanlış: a > 0 ve b > 0 koşullarını kullanmadan doğrudan a \cdot b çarpımının maksimumunu aramak.
- Doğru: Bu koşullar, x^2 için geçerli bir aralık belirler (4 < x^2 < 16). Bu aralık, tepe noktasının geçerli olup olmadığını anlamak için kritik öneme sahiptir.
- Neden yanlış: Tanımlanan aralık dışında bir x^2 değeri, a veya b’nin pozitif tam sayı olma koşulunu sağlamaz.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir practice problemi çözmemi ister misin?