A ve b pozitif tam sayıdır

YKS TYT
1

a ve b pozitif tam sayıdır.
720• a = b3
olduğuna göre, a + b toplamının en küçük değeri kaçtır?
A) 120
B) 180
C) 240
D) 360
E) 420

a ve b pozitif tam sayıdır.
a ve b pozitif tam sayıdır.1024×480 21.8 KB

2

720 \cdot a = b^3 Eşitliğini Sağlayan En Küçük a + b Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL: Bir çarpımın tam küp (b^3) olabilmesi için, asal çarpanlarına ayrılmış halindeki tüm asal tabanların üsleri 3 veya 3’ün katı olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — 720 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma
720 sayısının asal çarpanlarını belirleyelim:

720 = 72 \times 10 = (2^3 \times 3^2) \times (2 \times 5) = 2^4 \times 3^2 \times 5^1

Adım 2 — Eşitliği Asal Çarpanlar Cinsinden Yazma
Verilen eşitlikte 720 yerine asal çarpanlarını yazalım:

(2^4 \times 3^2 \times 5^1) \cdot a = b^3

Adım 3 — a Sayısının En Küçük Değerini Bulma
Sol tarafın bir sayının küpü (b^3) olabilmesi için her bir asal çarpanın üssü en az 3’ün bir sonraki katına tamamlanmalıdır:

  • 2^4 için üssü 6’ya tamamlamak gerekir \rightarrow 2^2 çarpanı gerekir.
  • 3^2 için üssü 3’e tamamlamak gerekir \rightarrow 3^1 çarpanı gerekir.
  • 5^1 için üssü 3’e tamamlamak gerekir \rightarrow 5^2 çarpanı gerekir.

Buradan en küçük pozitif a tam sayısı:

a = 2^2 \times 3^1 \times 5^2 = 4 \times 3 \times 25 = 300

Adım 4 — b Sayısının Değerini Bulma
Bulduğumuz a değerini yerine yazarak b’yi hesaplayalım:

b^3 = 2^6 \times 3^3 \times 5^3
b = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60

Adım 5 — a + b Toplamını Hesaplama

a + b = 300 + 60 = 360

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 360
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Tam Küp Sayılar

  • Tanım: Bir tam sayının üçüncü kuvveti şeklinde yazılabilen sayılardır.
  • Bu problemde: 720 \cdot a çarpımının asal üsleri 3’ün katı yapılarak tam küp elde edilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: a sayısını bulduktan sonra b değerini b^3 ile karıştırmak

  • Yanlış: b değerini hesaplamadan doğrudan a ile 720’yi veya b^3’ü toplamak.
  • Doğru: Eşitliğin her iki tarafının küpkökünü alarak b = 60 değerine ulaşmak ve ardından a+b toplamını yapmak.
  • Neden yanlış: Soruda a + b^3 değil, a + b değeri istenmektedir.

Bu tip asal çarpanlara ayırma ve tam kare/tam küp tamamlama sorularından bir tane daha pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?