Aşağıdaki şekilde A ve B noktalarında bulunan iki çocuğun oyunu esnasında tahteravallinin hareketi A ve B noktalarının yeni konumları A' ve B' gösterilmiştir. [FC] zemine dik ve [FB], CFB' açısının açıortayıdır.
|A'C| = 24 birim, |BC| = 36 birim
Buna göre, |FC| uzunluğu kaç birimdir?
Doğrusal Açılar ve Trigonometrik Oranlar ile Uzunluk Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Doğrusal bir doğru üzerindeki komşu bütünler açıların toplamı 180^\circ’dir. Bir açının tanjantı ile yarım açısının tanjantı arasındaki bağıntı \tan \beta = \dfrac{2\tan(\frac{\beta}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\beta}{2})} formülü veya dik üçgendeki trigonometrik oranlar ile ifade edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Açılar Arasındaki Geometrik Bağıntının Belirlenmesi
Tahterevallinin A', F, B' noktaları doğrusal olduğundan A'-F-B' bir doğru belirtir.
- m(\widehat{A'FC}) = \beta olsun.
- Doğrusallıktan dolayı komşu bütünler açı m(\widehat{CFB'}) = 180^\circ - \beta olur.
- [FB], \widehat{CFB'} açısının açıortayı olduğundan:
m(\widehat{CFB}) = \frac{180^\circ - \beta}{2} = 90^\circ - \frac{\beta}{2}
Adım 2 — Dik Üçgenlerden Tanjant Değerlerinin Yazılması
[FC] zemine dik olduğu için FCA' ve FCB birer dik üçgendir (m(\widehat{FCA'}) = m(\widehat{FCB}) = 90^\circ).
|FC| = h diyelim:
- FCA' dik üçgeninde:
\tan \beta = \frac{|A'C|}{|FC|} = \frac{24}{h}
- FCB dik üçgeninde:
\tan(m(\widehat{CFB})) = \tan\left(90^\circ - \frac{\beta}{2}\right) = \cot\left(\frac{\beta}{2}\right) = \frac{|BC|}{|FC|} = \frac{36}{h}
Buradan \tan\left(\frac{\beta}{2}\right) = \dfrac{h}{36} elde edilir.
Adım 3 — Yarım Açı Formülü ile h Değerinin Hesaplanması
Tanjant yarım açı formülünde değerleri yerine yazalım:
\tan \beta = \frac{2\tan(\frac{\beta}{2})}{1 - \tan^2(\frac{\beta}{2})}
\frac{24}{h} = \frac{2 \cdot \frac{h}{36}}{1 - \left(\frac{h}{36}\right)^2}
Eşitliğin her iki tarafını h ile sadeleştirip düzenleyelim:
\frac{24}{h^2} = \frac{\frac{1}{18}}{1 - \frac{h^2}{1296}}
24\left(1 - \frac{h^2}{1296}\right) = \frac{h^2}{18}
24 - \frac{h^2}{54} = \frac{h^2}{18}
24 = h^2 \left(\frac{1}{18} + \frac{1}{54}\right) = h^2 \cdot \frac{4}{54} = h^2 \cdot \frac{2}{27}
h^2 = 24 \cdot \frac{27}{2} = 12 \cdot 27 = 324
h = \sqrt{324} = 18\text{ birim}
CEVAP: 18 (|FC| = 18\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Tahterevalli sorularında çubuğun her an doğrusal (180^\circ) kaldığını fark etmek, dış açıortay veya bütünler açı ilişkilerini doğrudan trigonometrik yarım açı formüllerine bağlamanızı sağlar.