A ve B bos kümeden farklt birer küme olmak bzere,
K ye M kümeleri
-AxA =K
• (Ax B) ^ (BxA) = M
olarak tanimlaniyor.
s(K- M) =13 olduğuna göre s(Ax (A -B)) değer
kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 12
D) 14
E) 15
A ve B Kümeleri ile Kartezyen Çarpım Problemi
KULLANILAN FORMÜLLER:
- Kartezyen Çarpım Eleman Sayısı: s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)
- Kesişim Özelliği: (A \times B) \cap (C \times D) = (A \cap C) \times (B \cap D)
- Fark Kümesi Eleman Sayısı: s(K - M) = s(K) - s(K \cap M)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — M Kümesini Düzenleme
Tanıma göre M = (A \times B) \cap (B \times A) olarak verilmiş. Kartezyen çarpımın kesişim özelliğini kullanırsak:
M = (A \cap B) \times (B \cap A) olur.
A \cap B = B \cap A olduğundan, M = (A \cap B) \times (A \cap B) yazılabilir.
Adım 2 — Eleman Sayılarını Belirleme
Küme eleman sayılarına isim verelim:
- s(A \cap B) = n olsun.
- s(A) = a olsun.
- s(A - B) = s(A) - s(A \cap B) = a - n olur.
Bu durumda:
- s(K) = s(A \times A) = s(A) \cdot s(A) = a^2
- s(M) = s((A \cap B) \times (A \cap B)) = n \cdot n = n^2
Adım 3 — s(K - M) Denklemini Çözme
M kümesi K kümesinin (A \times A) bir alt kümesidir, çünkü A \cap B \subseteq A olduğundan (A \cap B) \times (A \cap B) \subseteq A \times A olur.
s(K - M) = s(K) - s(M) = 13
a^2 - n^2 = 13
Bu bir iki kare farkıdır:
(a - n)(a + n) = 13
13 asal bir sayı olduğundan çarpanları sadece 1 ve 13 olabilir (a+n > a-n olduğu için):
- a - n = 1
- a + n = 13
Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:
2a = 14 \Rightarrow a = 7
n = 6 bulunur.
Adım 4 — İstenen Değeri Hesaplama
Soru bizden s(A \times (A - B)) değerini istiyor:
s(A \times (A - B)) = s(A) \cdot s(A - B)
s(A) = a = 7
s(A - B) = a - n = 7 - 6 = 1
Sonuç: 7 \cdot 1 = 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kartezyen Çarpım (A \times B):
- Tanım: İlk bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan tüm sıralı ikililerin kümesidir.
- Bu problemde: K = A \times A kümesinin eleman sayısı s(A)^2 olarak hesaplanmıştır.
2. Kümelerde Fark İşlemi (A - B):
- Tanım: A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanların kümesidir.
- Bu problemde: Kartezyen çarpım seviyesinde K-M farkı, ortak olmayan ikilileri bulmamızı sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesişim Karışıklığı
- Yanlış: (A \times B) \cap (B \times A) ifadesini doğrudan boş küme sanmak.
- Doğru: Eğer A ve B’nin ortak elemanları varsa (kesişim boş değilse), bu işlemin sonucu (A \cap B) \times (A \cap B) olur.
- Neden: Ortak olan sıralı ikililer, her iki bileşeni de her iki kümede bulunan elemanlardan oluşur.
Bu konuyu pekiştirmek için s(B \times (B - A)) değerini de hesaplamamı ister misin?