A ve b gerçel saytar olmak, 0zere gercel sayilar kümesi biçiminde tanımianan f fonksiyonu surekidir Buna göre, a -b

YKS TYT
1

a ve b gerçel saytar olmak, 0zere gercel sayilar kümesi
Üzerinde
biçiminde tanımianan f fonksiyonu surekidir
Buna göre, a -b çarpımı kaçtr?
A) 2
B) 4
C)6
D) 8
E)

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 227 KB

2

Parçalı Fonksiyonun Sürekliliği ve Bilinmeyen Katsayıların Bulunması

:light_bulb: [KULLANILAN KURAL / FORMÜL:]
Bir f(x) fonksiyonunun x = c noktasında sürekli olabilmesi için o noktadaki sağdan limiti, soldan limiti ve fonksiyonun değeri birbirine eşit olmalıdır:

\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^2} f(x) = f(c)

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Kritik Noktayı Belirleme
Fonksiyonun kuralı x = 1 noktasında değişmektedir. Fonksiyon gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğuna göre, kritik nokta olan x = 1 noktasında da sürekli olmalıdır.

Adım 2 — Sol Limit ve Fonksiyon Değeri Eşitliği
x = 1 noktasındaki sol limit (x < 1) ve fonksiyonun o noktadaki değeri (f(1) = 7) birbirine eşit olmalıdır:

\lim_{x \to 1^-} (x^2 + a) = 7
1^2 + a = 7
1 + a = 7 \implies a = 6

Adım 3 — Sağ Limit ve Fonksiyon Değeri Eşitliği
x = 1 noktasındaki sağ limit (x > 1) de fonksiyonun değerine (7) eşit olmalıdır. Bulduğumuz a = 6 değerini yerine yazalım:

\lim_{x \to 1^+} (ax + b) = 7
a(1) + b = 7
6 + b = 7 \implies b = 1

Adım 4 — İstenen Çarpımın Hesaplanması
Bizden a \cdot b çarpımı isteniyor:

a \cdot b = 6 \cdot 1 = 6

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] a \cdot b = 6 (C seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Süreklilik

  • [Tanım:] Bir fonksiyonun grafiğinde kopma, sıçrama veya boşluk olmaması durumudur.
  • [Bu problemde:] x=1 noktasında parçaların birbirine “eklenmesi” sağlanarak süreklilik korunmuştur.

2. Kritik Nokta

  • [Tanım:] Parçalı fonksiyonlarda kuralın değiştiği sınır değeridir.
  • [Bu problemde:] Kritik nokta x=1 değeridir ve tüm işlemler bu değer üzerinden yapılmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Sadece limitleri eşitlemek

  • [Yanlış:] Sadece sol ve sağ limiti birbirine eşitleyip fonksiyonun kendi değerini (7) ihmal etmek.
  • [Doğru:] Süreklilik için limitlerin yanında fonksiyonun o noktadaki tanımlı değerine de bakılmalıdır.
  • [Neden Yanlış:] Limitler eşit olsa bile fonksiyon değeri farklıysa fonksiyon sürekli değil, sadece limitli olur.

Bu çözümde takıldığın bir adım oldu mu veya benzer bir limit sorusu daha çözmemi ister misin?