a ve -b gerçel sayılarının sıfır noktasına göre konumları aşağıdaki sayı doğrusu üzerinde gösterilmiştir.
[Görselde a < 0 < -b olduğu görülmektedir.]
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman negatiftir?
A) a^3 \cdot b
B) b + a
C) \frac{b}{a}
D) a \cdot b
E) a + b
Sayı Doğrusunda İşaret İncelemesi ve Gerçel Sayılar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sayı doğrusunda sıfırın solundaki sayılar negatif, sağındaki sayılar pozitiftir. İki negatif sayının çarpımı ve bölümü daima pozitif, toplamı ise daima negatiftir:
\forall a, b < 0 \implies a + b < 0
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — a ve b Sayılarının İşaretlerinin Belirlenmesi
Sayı doğrusunda verilen konumlara göre:
- a, sıfırın solunda yer aldığından a < 0 (negatiftir).
- -b, sıfırın sağında yer aldığından -b > 0 \implies b < 0 (negatiftir).
Dolayısıyla hem a hem de b birer negatif gerçel sayıdır (a < 0 ve b < 0).
Adım 2 — Seçeneklerin İşaret Analizi
Bulunan a < 0 ve b < 0 değerlerine göre seçenekleri inceleyelim:
- A) a^3 \cdot b: Negatif bir sayının tek kuvveti negatiftir (a^3 < 0). Negatif ile negatifin çarpımı pozitif olacağından a^3 \cdot b > 0 olur.
- B) b - a: Sayıların mutlak değerce büyüklükleri verilmediğinden bu ifadenin işareti kesin olarak bilinemez (pozitif veya negatif olabilir).
- C) \frac{b}{a}: İki negatif sayının birbirine bölümü pozitiftir (\frac{-}{-} = +), dolayısıyla \frac{b}{a} > 0 olur.
- D) a \cdot b: İki negatif sayının çarpımı daima pozitiftir ((-) \cdot (-) = +), dolayısıyla a \cdot b > 0 olur.
- E) a + b: İki negatif sayının toplamı her zaman negatiftir ((-) + (-) = -):
a < 0 \quad \text{ve} \quad b < 0 \implies a + b < 0
CEVAP: E) a + b (a+b < 0)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Sayı doğrusunda bir sayının önünde eksi işareti bulunması (-b), o sayının kendisinin negatif olduğu anlamına gelmez. -b > 0 olduğunda her iki taraf -1 ile çarpılarak eşitsizlik yön değiştirir ve b < 0 elde edilir. İki negatif sayının toplamı ise mutlak büyüklüklerine bağlı olmaksızın daima negatiftir.