$a$ ve $b$ Gerçel Sayıları İçin Mutlak Değer Sorusu Çözümü

YKS TYT
1

eiretieyini
ve b gerpel syilan in
•la-b 2b|4
pitlikier sağlanmaktadır.
Buna göre b değeri kaçtır?
A) 1
B) 4
C)9
D) 16
E) 25

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 28.1 KB

2

a ve b Gerçel Sayıları İçin Mutlak Değer Sorusu Çözümü

Görseldeki denklemleri incelediğimizde şu iki eşitliğin verildiğini görüyoruz:

  1. a^2 + 2a + 6 = |2a - 18|
  2. |a \cdot b| = |2b| + 4

Soru bizden b^2 değerini bulmamızı istiyor.

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL / KURAL:]
Mutlak değer tanımı gereği |f(x)| \ge 0 olmalıdır. Ayrıca |a \cdot b| = |a| \cdot |b| kuralı kullanılır.

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Birinci Denklemden a Değerini Bulma
a^2 + 2a + 6 = |2a - 18| denklemini ele alalım. Sol taraftaki ifadeyi tam kareye benzetirsek:
a^2 + 2a + 1 + 5 = (a+1)^2 + 5 olur.
Bir sayının karesi en az 0 olacağından, sol taraf daima pozitif ve en az 5 değerini alır.

Şimdi |2a - 18| ifadesini inceleyelim:

  • Durum 1: 2a - 18 \ge 0 \Rightarrow a \ge 9 ise:
    a^2 + 2a + 6 = 2a - 18
    a^2 = -24 (Reel kök yoktur.)
  • Durum 2: 2a - 18 < 0 \Rightarrow a < 9 ise:
    a^2 + 2a + 6 = -(2a - 18)
    a^2 + 2a + 6 = -2a + 18
    a^2 + 4a - 12 = 0
    (a + 6)(a - 2) = 0
    Buradan a = -6 veya a = 2 bulunur. (Her iki değer de a < 9 şartını sağlar.)

Adım 2 — İkinci Denklemde a Değerlerini Deneme
|a \cdot b| = |2b| + 4 denklemini |a| \cdot |b| = 2|b| + 4 şeklinde yazabiliriz.

  • Eğer a = -6 ise:
    |-6| \cdot |b| = 2|b| + 4
    6|b| = 2|b| + 4
    4|b| = 4 \Rightarrow |b| = 1
  • Eğer a = 2 ise:
    |2| \cdot |b| = 2|b| + 4
    2|b| = 2|b| + 4 \Rightarrow 0 = 4 (Çözüm yoktur.)

Bu durumda tek geçerli değer |b| = 1 olur.

Adım 3 — b^2 Değerini Hesaplama
Eğer |b| = 1 ise, her iki tarafın karesini aldığımızda:
(|b|)^2 = 1^2
b^2 = 1 bulunur.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] A) 1
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Mutlak Değer

  • [Tanım:] Bir sayının başlangıç noktasına olan uzaklığıdır, asla negatif olamaz.
  • [Bu problemde:] Denklemlerin köklerini belirlemek ve b değerine ulaşmak için kullanılmıştır.

2. İkinci Derece Denklemler

  • [Tanım:] ax^2 + bx + c = 0 formundaki denklemlerdir.
  • [Bu problemde:] a değerini bulmak için çarpanlara ayırma yöntemi uygulanmıştır.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Mutlak Değeri Negatif Çıkarmak

  • [Yanlış:] |2a-18| ifadesini şartları kontrol etmeden direkt dışarı çıkarmak.
  • [Doğru:] İçerisi negatifse önüne eksi alarak, pozitifse aynen çıkarılmalıdır.
  • [Neden yanlış:] Mutlak değerin sonucu negatif bir sayıya eşitlenirse reel kök bulunamaz.

Bu çözümde takıldığın veya tekrar açıklamamı istediğin bir adım var mı?