SOrijinal
a ve b gerçel sayıları;
b+1
(b+ 1)-(a +b+3) = 0
eşitliklerini sağlamaktadırlar.
Buna göre, a -b çarpımının değeri kaçtır?
A) -2
B) -1
c) 1
D) 2
KAZANIMT
nobnienio oto
E) 6
Verilen Eşitliklere Göre a \cdot b Çarpımının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER VE KURALLAR:
- Bir rasyonel ifadenin sıfıra eşit olması için payının sıfır, paydasının ise sıfırdan farklı olması gerekir: \frac{A}{B} = 0 \iff A = 0 \text{ ve } B \neq 0
- Çarpım durumundaki iki ifadenin sonucu sıfır ise çarpanlardan en az biri sıfırdır: A \cdot B = 0 \iff A = 0 \text{ veya } B = 0
- Gerçel sayılar kümesinde her b \in \mathbb{R} için b^2 \ge 0 olduğundan b^2 + 1 \ge 1 > 0’dır (asla sıfır olamaz).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci Eşitliği Çözümleme
Verilen ilk eşitlik:
\frac{2a - 3b - 4}{b^2 + 1} = 0
b bir gerçel sayı olduğundan payda b^2 + 1 \ge 1 \neq 0’dır. Kesrin değerinin 0 olabilmesi için pay kısmı sıfıra eşit olmalıdır:
2a - 3b - 4 = 0 \implies 2a - 3b = 4
Adım 2 — İkinci Eşitliği Çözümleme
Verilen ikinci eşitlik:
(b^2 + 1) \cdot (a + b + 3) = 0
b^2 + 1 > 0 olduğu için bu çarpan sıfır olamaz. Dolayısıyla diğer çarpanın sıfır olması gerekir:
a + b + 3 = 0 \implies a + b = -3
Adım 3 — Denklem Sistemini Çözme
Elde ettiğimiz iki bilinmeyenli lineer denklem sistemini yazalım:
- 2a - 3b = 4
- a + b = -3
İkinci denklemi 3 ile genişletip taraf tarafa toplayalım:
3 \cdot (a + b) = 3 \cdot (-3) \implies 3a + 3b = -9
Taraf tarafa toplama işlemi:
(2a - 3b) + (3a + 3b) = 4 + (-9)
5a = -5
a = -1
Bulduğumuz a = -1 değerini a + b = -3 denkleminde yerine yazalım:
-1 + b = -3
b = -2
Adım 4 — a \cdot b Çarpımını Bulma
a \cdot b = (-1) \cdot (-2) = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkıdır (2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Gerçel Sayılarda Kareli İfadelerin Özelliği
- Tanım: Herhangi bir gerçel sayının karesi negatif olamaz (x^2 \ge 0).
- Bu problemde: b^2 + 1 ifadesinin en küçük değeri 1 olduğundan sıfıra eşit olamayacağı kullanılmıştır.
2. İki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri
- Tanım: İki değişken içeren birden fazla doğrusal eşitliğin yok etme veya yerine koyma yöntemiyle ortak çözümünün bulunmasıdır.
- Bu problemde: b değişkeni katsayıları eşitlenip yok edilerek doğrudan a değişkenine ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
b^2 + 1 = 0 Kökünü Aramak
- Yanlış: b^2 = -1 \implies b = \pm i diyerek karmaşık kökleri gerçel sayı çözümüne dahil etmek.
- Doğru: Soruda a ve b’nin gerçel sayı olduğu belirtildiği için b^2 + 1 = 0 durumu incelenmez, b^2 + 1 \neq 0 kabul edilir.
- Neden yanlış: Karmaşık sayılar gerçel sayılar kümesinin elemanı değildir.
Benzer bir iki bilinmeyenli denklem sistemi sorusuyla pratik yapmak ister misin?