a ve b gerçel sayılar olmak üzere gerçel sayilar
kümesi üzerinde
f(x) = x°+9x+ ax +b
biçiminde tanımlanan f fonksiyonu; pozitif gerçel
sayılarda pozitif, negatif gerçel sayılarda negatif
değerler almaktadır.
Buna göre a sayıSinin alabileceği en küçük tam
sayı değeri kaçtır?
A) 9
B) 13
C) 17
D) 21
E) 25
f(x) Fonksiyonunun İşaretine Göre a Değerinin Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir fonksiyon x > 0 için pozitif, x < 0 için negatif değerler alıyorsa, fonksiyonun işareti x=0 noktasında değişmelidir. Bu durum, fonksiyonun orijinden geçmesini (f(0)=0) ve daima artan (veya yerel ekstremum noktalarının olmamasını) gerektirir.
- Üçüncü dereceden bir fonksiyonun (f(x) = x^3 + px^2 + qx + r) daima artan olması için türevinin diskriminantı \Delta \le 0 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — b Değerinin Belirlenmesi
Soruya göre fonksiyon x > 0 iken f(x) > 0 ve x < 0 iken f(x) < 0 olmalıdır. Bu, fonksiyonun sürekliliği gereği x=0 noktasında 0 değerini alması gerektiğini gösterir.
f(0) = 0^3 + 9(0)^2 + a(0) + b = 0 \implies b = 0 olur.
Adım 2 — Fonksiyonun Artanlık Şartının Analizi
Fonksiyonun x=0 dışında işaret değiştirmemesi (yani başka kökünün olmaması) ve pozitif tarafta pozitif kalması için fonksiyonun reel sayılar kümesinde daima artan olması gerekir. Eğer yerel maksimum veya minimum noktaları eksenleri keserse işaret kuralı bozulur.
Fonksiyonun türevini alalım:
f'(x) = 3x^2 + 18x + a
Adım 3 — Türev Fonksiyonu İçin Diskriminant (\Delta) Şartı
f(x) fonksiyonunun daima artan olması için türevinin her x değeri için f'(x) \ge 0 olması gerekir. İkinci derece bir ifadenin daima sıfırdan büyük veya eşit olması için diskriminantın sıfıra eşit veya küçük olması şarttır:
\Delta = b^2 - 4ac \le 0
18^2 - 4 \cdot 3 \cdot a \le 0
324 - 12a \le 0
Adım 4 — a Değer Aralığının Hesaplanması
Elde edilen eşitsizliği çözelim:
324 \le 12a
\frac{324}{12} \le a
27 \le a
Ancak, soruda verilen fonksiyonun yapısını incelediğimizde; f(x) = x(x^2 + 9x + a) şeklinde çarpanlarına ayrılır. x=0 zaten bir köktür. Fonksiyonun sadece x=0’da işaret değiştirmesi için x^2 + 9x + a = 0 denkleminin reel kökü olmamalıdır (veya varsa bile çift katlı kök olup pozitif kalmalıdır).
Bu durumda türev üzerinden değil, direkt çarpan üzerinden \Delta kontrolü yapılır:
\Delta_{çarpan} = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot a \le 0
81 - 4a \le 0
81 \le 4a \implies a \ge 20,25
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: a’nın alabileceği en küçük tam sayı değeri 21’dir. (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Tek ve Çift Katlı Kökler
- Tanım: Fonksiyonun işaret değiştirdiği noktalar tek katlı köklerdir.
- Bu problemde: Fonksiyonun sadece x=0’da işaret değiştirmesi istendiği için diğer çarpanın kökü olmamalıdır.
2. Diskriminant (\Delta)
- Tanım: ax^2 + bx + c denkleminde kök varlığını belirleyen ifadedir.
- Bu problemde: x^2 + 9x + a ifadesinin kökü olmazsa ( \Delta < 0) işaret hep pozitif kalır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Türev Diskriminantı ile Karıştırmak
- Yanlış: Sadece türevin diskriminantına bakarak a \ge 27 sonucuna ulaşmak.
- Doğru: Fonksiyonun f(x) = x \cdot g(x) formunda olduğu görülmeli ve g(x)'in daima pozitif (kökünün olmaması) şartı aranmalıdır.
- Neden: g(x) negatif olursa, x=0 noktasındaki işaret geçişi tersine döner veya başka kökler oluşur.
Bu soruda fonksiyonun x=0 haricinde kökü olmaması gerektiğini anlamak çözümün anahtarıdır. Benzer bir polinom grafik yorumlama sorusu daha çözmek ister misin?