a ve b gerçel sayılar olmak üzere gerçel sayılar kümesi üzerinde bir f fonksiyonu
f(x) = x^2 dot (ax + b)
biçiminde tanımlanıyor.
f(1) = 1
f'(2) = 2
olduğuna göre f''(3) değeri kaçtır?
A) -3
B) -2
C) -1
D) 4
E) 5
Polinom Fonksiyonlarda Yüksek Mertebeden Türev Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir polinom fonksiyonun ardışık türevleri kuvvet kuralı (\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}) uygulanarak bulunur. Verilen fonksiyon ve türev değerleri yardımıyla bilinmeyen katsayılar belirlenir ve ardından ikinci türev f''(x) hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonu Açma ve Birinci Koşulu Uygulama
Fonksiyon f(x) = x^2(ax + b) = ax^3 + bx^2 olarak dağıtılır. f(1) = 1 eşitliği yerine yazıldığında birinci denklem elde edilir:
f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 = a + b = 1
Adım 2 — Birinci Türevi Alma ve İkinci Koşulu Uygulama
f(x) fonksiyonunun birinci mertebeden türevi f'(x) = 3ax^2 + 2bx olur. f'(2) = 2 değeri yerine yazılır:
f'(2) = 3a(2)^2 + 2b(2) = 12a + 4b = 2
Adım 3 — a ve b Katsayılarını Bulma
a + b = 1 eşitliğinin her iki tarafı 4 ile çarpılıp 12a + 4b = 2 denkleminden çıkarılır:
12a + 4b - (4a + 4b) = 2 - 4 \implies 8a = -2 \implies a = -\frac{1}{4}
b = 1 - a = 1 - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{5}{4}
Adım 4 — İkinci Türevi Bulma ve x = 3 Değerini Hesaplama
Birinci türevin tekrar türevi alınarak ikinci türev fonksiyonu bulunur:
f''(x) = 6ax + 2b
x = 3 için bu değer hesaplanır:
f''(3) = 6\left(-\frac{1}{4}\right)(3) + 2\left(\frac{5}{4}\right) = -\frac{18}{4} + \frac{10}{4} = -\frac{8}{4} = -2
CEVAP: B) -2 (f''(3) = -2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çarpım halindeki polinom ifadelerde türev almadan önce parantezi dağıtmak, çarpımın türevi kuralına göre işlem karmaşasını ve işaret hatası riskini önemli ölçüde azaltır.