a ve b gerçel sayılar olmak üzere, dik koordinat düzleminde
f(x) = x^2 - 6x + a parabolünün tepe noktasının koordinatları (r, k),
olduğuna göre a + b toplamı kaçtır?
A) 24
B) 26
C) 28
D) 30
E) 32
f(x) = x^2 - 6x + a ve g(x) = x^2 - 8x + b Parabollerinin Tepe Noktaları Yardımıyla a + b Toplamının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL:
y = Ax^2 + Bx + C parabolünün tepe noktası T(r, k) olmak üzere:
r = -\frac{B}{2A}
k = f(r)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — f(x) Parabolünün Tepe Noktasının Apsis Değerini (r) Bulma
f(x) = x^2 - 6x + a denkleminde A = 1 ve B = -6’dır. Tepe noktasının apsisi r:
r = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3
Adım 2 — g(x) Parabolünün Tepe Noktasının Apsis Değerini (k) Bulma
g(x) = x^2 - 8x + b parabolünün tepe noktasının apsisi soruda k olarak verilmiştir.
k = -\frac{-8}{2 \cdot 1} = 4
Buradan r = 3 ve k = 4 değerleri elde edilir.
Adım 3 — f(x) Fonksiyonunda a Değerini Hesaplama
f(x) parabolünün tepe noktasının ordinatı k = 4’tür. Yani f(r) = f(3) = 4 olmalıdır:
f(3) = 3^2 - 6(3) + a = 4
9 - 18 + a = 4
-9 + a = 4
a = 13
Adım 4 — g(x) Fonksiyonunda b Değerini Hesaplama
g(x) parabolünün tepe noktasının koordinatları (k, r) = (4, 3) olduğundan, g(4) = 3 olmalıdır:
g(4) = 4^2 - 8(4) + b = 3
16 - 32 + b = 3
-16 + b = 3
b = 19
Adım 5 — a + b Toplamını Bulma
a + b = 13 + 19 = 32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Parabolün Tepe Noktası T(r, k)
- Tanım: Bir parabolün simetri ekseni üzerindeki en tepe veya en çukur noktasıdır.
- Bu problemde: f(x) için tepe noktası (3, 4) ve g(x) için tepe noktası (4, 3) olarak kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Tepe Noktası Koordinat Sırasını Karıştırmak
- Yanlış: g(x)'in tepe noktasını alışkanlıkla (r, k) olarak almak.
- Doğru: Soruda verilen sıralamaya dikkat ederek g(x)'in apsisini k, ordinatını r olarak almak.
- Neden yanlış: Koordinatların yeri değiştiğinde (k apsis, r ordinat olduğunda) a ve b değerleri hatalı bulunur.
Parabollerin simetri ekseni veya tepe noktasıyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?