a ve b gerçel sayılar olmak üzere,
a^2 < a \frac{1}{2}
-1 < b < 0
eşitsizlikleri veriliyor.
Buna göre, 2a - b ifadesinin en geniş değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-1, 3)
B) (0, 2)
C) (0, 3)
D) (1, 4)
E) (0, 4)
a^2 < a ve -1 < b < 0 Eşitsizliklerine Göre 2a - b İfadesinin En Geniş Değer Aralığı
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Bir sayının karesi kendisinden küçükse (a^2 < a), bu sayı 0 ile 1 arasındadır: 0 < a < 1
- Eşitsizlikler pozitif bir sayı ile çarpıldığında yön değiştirmez: x < y \implies k \cdot x < k \cdot y \quad (k > 0)
- Eşitsizlik negatif bir sayı ile çarpıldığında yön değiştirir: x < y \implies -x > -y
- Aynı yönlü eşitsizlikler taraf tarafa toplanabilir: x_1 < A < x_2 ve y_1 < B < y_2 \implies x_1 + y_1 < A + B < x_2 + y_2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a Sayısının Değer Aralığını Belirleme
a^2 < a eşitsizliğinde a ifadesini sol tarafa atalım:
a^2 - a < 0 \implies a(a - 1) < 0
Bu eşitsizliğin kökleri a = 0 ve a = 1’dir. İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin negatif olduğu aralık bulunur:
0 < a < 1
Adım 2 — 2a İfadesinin Değer Aralığını Bulma
Bulduğumuz 0 < a < 1 eşitsizliğinin her tarafını 2 pozitif sayısı ile çarpalım:
2 \cdot 0 < 2a < 2 \cdot 1
0 < 2a < 2
Adım 3 — -b İfadesinin Değer Aralığını Bulma
Verilen -1 < b < 0 eşitsizliğinin her tarafını -1 ile çarparak eşitsizliğin yönünü değiştirelim:
-1 \cdot (-1) > -b > -1 \cdot 0
1 > -b > 0 \implies 0 < -b < 1
Adım 4 — İfadeleri Taraf Tarafa Toplama
Elde edilen 2a ve -b aralıklarını aynı yönlü olarak alt alta yazıp toplayalım:
$$\begin{aligned}
0 &< 2a < 2 \
+\quad 0 &< -b < 1 \
\hline
0 &< 2a - b < 3
\end{aligned}$$
Bu durumda 2a - b ifadesinin en geniş değer aralığı (0, 3) olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (0, 3)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. a^2 < a Kuralı
- Tanım: Karesi kendisinden küçük olan sayılar kümesi, 0 ile 1 arasındaki pozitif basit kesirleri ifade eder.
- Bu problemde: a değişkeninin sınırlarını doğrudan 0 < a < 1 olarak belirlememizi sağladı.
2. Eşitsizliklerde Taraf Tarafa Toplama
- Tanım: Eşitsizliklerde çıkarma işlemi doğrudan yapılamaz; çıkarılacak ifade önce eksi (-) ile çarpılıp ardından toplama yapılır.
- Bu problemde: 2a - b ifadesine ulaşmak için b’nin aralığı -1 ile çarpılarak -b elde edildi ve 2a ile toplandı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eşitsizlikleri Taraf Tarafa Çıkarmak
- Yanlış: 0 < 2a < 2 aralığından -1 < b < 0 aralığını doğrudan çıkarmaya çalışmak (0 - (-1) < 2a - b < 2 - 0 \implies 1 < 2a - b < 2).
- Doğru: Eşitsizlikler taraf tarafa çıkarılamaz. İkinci eşitsizlik önce -1 ile çarpılmalı, ardından taraf tarafa toplanmalıdır.
- Neden yanlış: Çıkarma işleminde sınır değerlerin en küçük ve en büyük kombinasyonları doğru hesaplanamaz.
Değer Seçerek (Tam Sayı Gibi) Çözmek
- Yanlış: a ve b gerçel sayı olmasına rağmen a = 0.5, b = -0.5 gibi tek bir değer seçip sonuca gitmek.
- Doğru: Gerçel sayı dendiğinde aralık cebirsel yöntemlerle genişletilmelidir.
- Neden yanlış: Tek bir değer seçmek, ifadenin alabileceği tüm sınırları ve en geniş aralığı vermez.
Benzer tipte bir eşitsizlik sorusu daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?