a ve b farklı doğal sayılar olmak üzere;
a+b = 20
olduğuna göre, a-b çarpımının en büyük
değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
a + b = 20 İfadesinde Çarpımın En Büyük ve En Küçük Değerinin Toplamı
KULLANILAN KURAL: Toplamları sabit olan iki doğal sayının çarpımının en büyük olması için sayılar birbirine en yakın, en küçük olması için ise sayılar birbirine en uzak seçilmelidir. Ayrıca sayıların farklı olması şartına dikkat edilmelidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — En Küçük Değerin Bulunması
Çarpımın en küçük olması için sayıları birbirine en uzak seçmeliyiz. Doğal sayılar kümesi 0’dan başladığı için:
- a = 0 ve b = 20 seçersek; 0 + 20 = 20 olur.
- Çarpım: 0 \times 20 = 0
Adım 2 — En Büyük Değerin Bulunması
Çarpımın en büyük olması için sayıları birbirine en yakın seçmeliyiz.
- Eğer sayılar aynı olabilseydi 10 + 10 = 20 seçer ve 10 \times 10 = 100 bulurduk.
- Ancak soruda sayıların farklı olduğu belirtilmiştir. Bu yüzden 10’a en yakın farklı sayıları seçeriz: a = 9 ve b = 11.
- Çarpım: 9 \times 11 = 99
Adım 3 — Toplamın Hesaplanması
Bulduğumuz en büyük ve en küçük çarpım değerlerini toplayalım:
- En\ Küçük + En\ Büyük = 0 + 99 = 99
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 99
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğal Sayılar (\mathbb{N})
- Tanım: 0, 1, 2, 3, \dots şeklinde sonsuza giden sayılar kümesidir.
- Bu problemde: En küçük değeri bulurken 0’ı kullanmamızı sağlamıştır.
2. Farklı Sayılar Şartı
- Tanım: Seçilen değişkenlerin aynı sayısal değere sahip olmamasıdır.
- Bu problemde: En büyük değeri bulurken 10 \times 10 yerine 9 \times 11 seçmemizin nedenidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıların Farklı Olduğunu Unutmak
- Yanlış: En büyük değer için 10 \times 10 = 100 almak.
- Doğru: Soruda “farklı” dendiği için birbirine en yakın 9 ve 11 seçilmelidir.
- Neden Yanlış: Sorudaki kısıtlamalar çözümün doğruluğunu doğrudan etkiler.
Doğal Sayıları 1’den Başlatmak
- Yanlış: En küçük değer için 1 \times 19 = 19 almak.
- Doğru: Doğal sayılar 0’ı kapsar, bu yüzden 0 \times 20 = 0 en küçük değerdir.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir soru çözmemi ister misin?