A ve b doğal sayılardır

LİSE
1

a ve b doğal sayılardır.
2a + 3b = 24
olduğuna göre,
I. Eşitliği sağlayan 5 farklı (a,b) sıralı ikilisi vardır.
II. a.b çarpımının en büyük değeri 24 tür.
III. a + b toplamının en büyük değeri 11 dir.
yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) Yalnız II
C) I ve II
D) I ve III
E) I, II ve III

a ve b doğal sayılardır.
a ve b doğal sayılardır.1024×768 63.9 KB

2

@sorumatik_uzman_bot

3

2a + 3b = 24 Eşitliğini Sağlayan Doğal Sayı Değerlerinin ve Yargıların İncelenmesi

:light_bulb: KULLANILAN KURAL VE BAĞINTILAR:

  • Doğal Sayılar Kümesi: \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} (Doğal sayılar 0’dan başlar).
  • Diophantus Denklemi Çözüm Kuralı: ax + by = c denkleminde bir kök (x_0, y_0) bulunduktan sonra, diğer kökler katsayılar oranında değişir; biri diğerinin katsayısı kadar artarken diğeri diğerinin katsayısı kadar azalır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eşitliği Sağlayan (a,b) Doğal Sayı İkililerini Bulma
Verilen denklem:

2a + 3b = 24

Buradan 2a ifadesini yalnız bırakalım:

2a = 24 - 3b
a = \frac{24 - 3b}{2} = 12 - \frac{3b}{2}

a bir doğal sayı olduğu için a \ge 0 olmalıdır ve 3b ifadesi 2’ye tam bölünmelidir. Dolayısıyla b, 0’dan başlayarak 2’şer 2’şer artan çift doğal sayılar olmalıdır:

  • b = 0 için: a = 12 - 0 = 12 \implies (12, 0)
  • b = 2 için: a = 12 - 3 = 9 \implies (9, 2)
  • b = 4 için: a = 12 - 6 = 6 \implies (6, 4)
  • b = 6 için: a = 12 - 9 = 3 \implies (3, 6)
  • b = 8 için: a = 12 - 12 = 0 \implies (0, 8)

b \ge 10 için a negatif olacağından doğal sayı olma şartı bozulur.
Eşitliği sağlayan (a,b) sıralı ikilileri:

\{(12, 0), (9, 2), (6, 4), (3, 6), (0, 8)\}

Adım 2 — I. Yargının Değerlendirilmesi

  • Yargı I: “Eşitliği sağlayan 5 farklı (a,b) sıralı ikilisi vardır.”
  • Bulunan ikililer 5 tanedir: (12, 0), (9, 2), (6, 4), (3, 6), (0, 8).
  • Dolayısıyla I. yargı DOĞRUDUR.

Adım 3 — II. Yargının Değerlendirilmesi

  • Yargı II: “a \cdot b çarpımının en büyük değeri 24’tür.”
  • Her bir ikili için çarpımları hesaplayalım:
    • 12 \cdot 0 = 0
    • 9 \cdot 2 = 18
    • 6 \cdot 4 = 24
    • 3 \cdot 6 = 18
    • 0 \cdot 8 = 0
  • Çarpımın alabileceği en büyük değer 24’tür.
  • Dolayısıyla II. yargı DOĞRUDUR.

Adım 4 — III. Yargının Değerlendirilmesi

  • Yargı III: “a + b toplamının en büyük değeri 11’dir.”
  • Her bir ikili için toplamları inceleyelim:
    • 12 + 0 = 12
    • 9 + 2 = 11
    • 6 + 4 = 10
    • 3 + 6 = 9
    • 0 + 8 = 8
  • Toplamın alabileceği en büyük değer 11 değil, 12’dir.
  • Dolayısıyla III. yargı YANLIŞTIR.

Adım 5 — Seçenek Değerlendirmesi

  • I doğru, II doğru, III yanlıştır.
  • Doğru olanlar I ve II’dir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Doğal Sayı Şartı (a, b \in \mathbb{N})

  • Tanım: 0 ve pozitif tam sayıları kapsayan kümedir.
  • Bu problemde: 0 sayısının bir doğal sayı olduğu unutulmamalıdır; a=0 ve b=0 durumları çözüme dahil edilmiştir.

2. Çarpımın Maksimum Olması

  • Tanım: Toplamları ya da katsayılı toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük olması için sayıların birbirine en yakın seçilmesi gerekir.
  • Bu problemde: 2a = 12 ve 3b = 12 olduğunda (a=6, b=4) terimler birbirine en yakın değere ulaşmış ve en büyük çarpım olan 24 elde edilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 0’ı Doğal Sayı Olarak Almamak

  • Yanlış: b = 0 ve a = 0 değerlerini saymayıp sadece (9,2), (6,4), (3,6) ikililerini almak ve toplam 3 ikili bulmak.
  • Doğru: Doğal sayılar kümesi 0’ı içerir. Bu nedenle (12,0) ve (0,8) ikilileri de geçerlidir.
  • Neden yanlış: 0 elemanı pozitif doğal sayılar kümesinde (\mathbb{N}^+) yer almaz, fakat genel doğal sayılar kümesinde (\mathbb{N}) yer alır.

:cross_mark: a+b Toplamının En Büyük Değerini 9+2=11 Kabul Etmek

  • Yanlış: b=0 durumunu gözden kaçırıp en büyük toplamı 9+2=11 sanmak.
  • Doğru: a=12, b=0 iken toplam 12+0=12 olur.

Benzer bir katsayılı doğrusal denklem sorusu oluşturup pratik yapmamızı ister misin?

4

2a + 3b = 24 Eşitliğini Sağlayan Doğal Sayı Değerleri ve Yargıların İncelenmesi

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Doğal sayılar kümesi \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} biçimindedir (0 bir doğal sayıdır). 2a + 3b = 24 denkleminde 2a ve 24 çift sayı olduğundan, 3b ifadesi ve dolayısıyla b sayısı da çift bir doğal sayı olmalıdır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eşitliği Sağlayan (a,b) Sıralı İkililerini Belirleme
b yerine yazılabilecek çift doğal sayılar (b \ge 0 ve 3b \le 24) sırasıyla denenir:

  • b = 0 \implies 2a + 3(0) = 24 \implies 2a = 24 \implies a = 12
  • b = 2 \implies 2a + 3(2) = 24 \implies 2a = 18 \implies a = 9
  • b = 4 \implies 2a + 3(4) = 24 \implies 2a = 12 \implies a = 6
  • b = 6 \implies 2a + 3(6) = 24 \implies 2a = 6 \implies a = 3
  • b = 8 \implies 2a + 3(8) = 24 \implies 2a = 0 \implies a = 0

Elde edilen sıralı ikililer: (12, 0), (9, 2), (6, 4), (3, 6), (0, 8)

Adım 2 — I. Yargının Değerlendirilmesi
Sağlayan (a,b) ikilisi kümesi \{(12, 0), (9, 2), (6, 4), (3, 6), (0, 8)\} olup toplam 5 farklı ikili vardır.
Dolayısıyla I. yargı doğrudur.

Adım 3 — II. Yargının Değerlendirilmesi (a \cdot b Çarpımının En Büyük Değeri)
Her bir ikili için a \cdot b değerleri hesaplanır:

  • 12 \times 0 = 0
  • 9 \times 2 = 18
  • 6 \times 4 = 24
  • 3 \times 6 = 18
  • 0 \times 8 = 0

Çarpımın alabileceği en büyük değer 24’tür.
Dolayısıyla II. yargı doğrudur.

Adım 4 — III. Yargının Değerlendirilmesi (a + b Toplamının En Büyük Değeri)
Her bir ikili için a + b değerleri hesaplanır:

  • 12 + 0 = 12
  • 9 + 2 = 11
  • 6 + 4 = 10
  • 3 + 6 = 9
  • 0 + 8 = 8

Toplamın alabileceği en büyük değer 11 değil, 12’dir.
Dolayısıyla III. yargı yanlıştır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) I ve II
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Doğal Sayılar Kümesi (\mathbb{N})

  • Tanım: Sıfırdan başlayıp pozitif sonsuza kadar giden tam sayıların oluşturduğu kümedir (\{0, 1, 2, \dots\}).
  • Bu problemde: a ve b değişkenleri 0 değerini alabildiği için (12,0) ve (0,8) ikilileri çözüme dahil edilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Sıfır Sayısını Doğal Sayı Olarak Saymamak

  • Yanlış: a ve b’nin 1’den başladığını varsayarak (12,0) ve (0,8) ikililerini atlamak ve a+b toplamının en büyük değerini 9+2=11 olarak almak.
  • Doğru: 0 bir doğal sayıdır; bu nedenle b=0 iken a=12 olur ve en büyük toplam 12+0=12’dir.
  • Neden yanlış: Sayma sayıları (\mathbb{Z}^+) ile doğal sayılar (\mathbb{N}) kümeleri karıştırıldığında sınır değerler kaybolur ve III. yargı hatalı olarak doğru kabul edilir.

Bu soru tipini pekiştirmek için benzer bir katsayı sorusu çözmemi ister misin?