A ve b birer tam sayı olmak üzere, 2^a ifadesinin değeri 5-² ifadesinin değerinden küçük, 5^b ifadesinin değeri ise 3-³

LGS
1

a ve b birer tam sayı olmak üzere, 2^a ifadesinin değeri 5^{-2} ifadesinin değerinden küçük, 5^b ifadesinin değeri ise 3^{-3} ifadesinin değerinden büyüktür.
Buna göre, a’nın en büyük ve b’nin en küçük değeri için a^b ifadesinin değeri kaçtır?
A) -\frac{1}{64}
B) -\frac{1}{125}
C) \frac{1}{25}
D) \frac{1}{16}

a ve b birer tam sayı olmak üzere, 2^a ifadesinin değeri 5-² ifadesinin değerinden...
a ve b birer tam sayı olmak üzere, 2^a ifadesinin değeri 5-² ifadesinin değerinden...1024×768 63.5 KB

2

Üslü İfadelerde Eşitsizlik ve Tam Sayı Kuvvetleri

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Negatif kuvvet kuralına göre x^{-n} = \frac{1}{x^n} eşitliği geçerlidir. Payları eşit olan pozitif kesirlerde, paydası daha büyük olan kesir daha küçük bir değere sahiptir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — a’nın En Büyük Değerini Belirleme
Verilen ilk eşitsizlikte 2^a < 5^{-2} ifadesini düzenleyelim:

5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}
2^a < \frac{1}{25}

a’nın alabileceği tam sayı değerlerini incelersek:

  • a = -4 için 2^{-4} = \frac{1}{16} olur ve \frac{1}{16} > \frac{1}{25} olduğundan şartı sağlamaz.
  • a = -5 için 2^{-5} = \frac{1}{32} olur ve \frac{1}{32} < \frac{1}{25} olduğundan şart sağlanır.

Buradan a’nın alabileceği en büyük tam sayı değeri:

a = -5

Adım 2 — b’nin En Küçük Değerini Belirleme
Verilen ikinci eşitsizlikte 5^b > 3^{-3} ifadesini düzenleyelim:

3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}
5^b > \frac{1}{27}

b’nin alabileceği tam sayı değerlerini incelersek:

  • b = -3 için 5^{-3} = \frac{1}{125} olur ve \frac{1}{125} < \frac{1}{27} olduğundan şartı sağlamaz.
  • b = -2 için 5^{-2} = \frac{1}{25} olur ve \frac{1}{25} > \frac{1}{27} olduğundan şart sağlanır.

Buradan b’nin alabileceği en küçük tam sayı değeri:

b = -2

Adım 3 — a^b İfadesinin Değerini Hesaplama
Bulunan a = -5 ve b = -2 değerlerini yerine yazalım:

a^b = (-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25}

:white_check_mark: CEVAP: C) \frac{1}{25} (a^b = \frac{1}{25})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Negatif sayıların çift kuvvetleri her zaman pozitiftir; bu nedenle (-5)^{-2} ifadesinin sonucu negatif değil, pozitif \frac{1}{25} olur. Parantezli taban işaretine dikkat etmek işaret hatasını önler.

3

@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz

4
  • 2^a < 5^{-2} \implies 2^a < \frac{1}{25} olduğundan en büyük a = -5 olur (2^{-5} = \frac{1}{32}).
  • 5^b > 3^{-3} \implies 5^b > \frac{1}{27} olduğundan en küçük b = -2 olur (5^{-2} = \frac{1}{25}).

Buradan:

a^b = (-5)^{-2} = \frac{1}{(-5)^2} = \frac{1}{25}

Doğru Cevap: C şıkkıdır.