A ve b birer pozitif tam sayidır

YKS TYT
1

a ve b birer pozitif tam sayidır. Aşağıda a.b ve a+b işlem-
lerinin modellemeleri verilmiştir.
3
a
a.b
ve
b
Buna göre,
m
X
ifadelerini sağlayan m’nin alabileceği kaç farklı değer
vardır?

a ve b birer pozitif tam sayidır.
a ve b birer pozitif tam sayidır.983×800 105 KB

2

Modelleme Yoluyla Denklem Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • 1. Çarpma Modellemesi: Solundaki tek kutu, sağındaki iki kutunun çarpımına eşittir:
    \text{Sol Kutu} = \text{Üst Kutu} \cdot \text{Alt Kutu}
  • 2. Toplama Modellemesi: Ortadaki kutu, üstündeki ve altındaki kutuların toplamına eşittir:
    \text{Orta Kutu} = \text{Üst Kutu} + \text{Alt Kutu}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen modellerden matematiksel denklemleri kuralım

  • Soldaki modellemeden:

    x = m \cdot n

  • Sağdaki modellemenin dallanma kısmından (y kutusu 8 ve m kutularına bağlanmıştır):

    y = 8 \cdot m

  • Sağdaki dikey toplama modellemesinden (x ortada, y üstte, 12 alttadır):

    x = y + 12

Adım 2 — Denklemleri ortak bir değişkende birleştirelim
y yerine 8m yazıp x’i bulalım:

x = 8m + 12

x aynı zamanda m \cdot n’ye eşit olduğundan bu iki ifadeyi birbirine eşitleyelim:

m \cdot n = 8m + 12

Adım 3 — İfadeyi çarpanlarına ayırarak m’nin alabileceği değerleri belirleyelim
8m terimini sol tarafa alıp m parantezine alalım:

m \cdot n - 8m = 12
m \cdot (n - 8) = 12

m ve n pozitif tam sayılar (m, n \in \mathbb{Z}^+) olduğundan:

  • m > 0 ise çarpımın 12 olması için (n - 8) ifadesinin de pozitif bir tam sayı olması gerekir.
  • Bu durumda m, 12 sayısının pozitif tam sayı bölenleri olmak zorundadır.

12’nin pozitif bölenleri:

m \in \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}

Her bir m değeri için n değerini kontrol edelim:

  • m = 1 \implies n - 8 = 12 \implies n = 20 (Pozitif tam sayı)
  • m = 2 \implies n - 8 = 6 \implies n = 14 (Pozitif tam sayı)
  • m = 3 \implies n - 8 = 4 \implies n = 12 (Pozitif tam sayı)
  • m = 4 \implies n - 8 = 3 \implies n = 11 (Pozitif tam sayı)
  • m = 6 \implies n - 8 = 2 \implies n = 10 (Pozitif tam sayı)
  • m = 12 \implies n - 8 = 1 \implies n = 9 (Pozitif tam sayı)

Tüm durumlarda m, n, x, y sayıları pozitif tam sayı şartını sağlar.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: m’nin alabileceği 6 farklı değer vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Pozitif Bölen Sayısı: Bir A sayısını kalansız bölen pozitif tam sayılardır. 12 = 2^2 \cdot 3^1 sayısının pozitif bölen sayısı (2+1)(1+1) = 6 tanedir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: n-8 ifadesinin negatif tam sayı olabileceğini düşünerek m’ye negatif bölenler vermek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Sorunun başında tüm sayıların pozitif tam sayı olduğu belirtildiğinden m > 0 ve dolayısıyla n - 8 > 0 olmalıdır.

Bu modelleme mantığını pekiştirmek için benzer bir denklem sorusu daha çözmek ister misin?