a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere,
a < \frac{1}{\log 2} + \frac{1}{\log 3} < b
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre, a’nın en büyük değeri ile b’nin en küçük değerinin toplamı kaçtır?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
Logaritma Taban Değiştirme ve Aralık Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Logaritmada taban değiştirme kuralı gereğince \frac{1}{\log_a b} = \log_b a ve tabanı yazılmayan logaritma 10 tabanında olduğundan \frac{1}{\log x} = \log_x 10 şeklinde yazılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen İfadeyi Logaritma Kuralı ile Düzenleme
Sorudaki logaritma terimleri 10 tabanında olduğundan (\log 2 = \log_{10} 2 ve \log 3 = \log_{10} 3):
\frac{1}{\log 2} + \frac{1}{\log 3} = \log_2 10 + \log_3 10
Adım 2 — Logaritmik İfadelerin Sayısal Aralıklarını Belirleme
- 2^3 = 8 < 10 < 16 = 2^4 olduğundan:
3 < \log_2 10 < 4 \quad (\text{daha kesin olarak } 2^{3{,}5} = \sqrt{128} \approx 11{,}31 > 10 \implies 3 < \log_2 10 < 3{,}5)
- 3^2 = 9 < 10 < 27 = 3^3 olduğundan:
2 < \log_3 10 < 3 \quad (\text{daha kesin olarak } 3^{2{,}5} = \sqrt{243} \approx 15{,}59 > 10 \implies 2 < \log_3 10 < 2{,}5)
Adım 3 — Toplamın Değer Aralığını ve a, b Tam Sayılarını Bulma
Üst sınırları daha dar aralıkla topladığımızda:
\log_2 10 + \log_3 10 < 3{,}5 + 2{,}5 = 6
Alt sınırlardan ise:
\log_2 10 + \log_3 10 > 3 + 2 = 5
Buna göre toplamın değeri 5 ile 6 arasındadır (5 < \text{Toplam} \approx 5{,}42 < 6).
Eşitsizlik a < \text{Toplam} < b olduğuna göre:
- a’nın alabileceği en büyük pozitif tam sayı değeri: a_{\max} = 5
- b’nin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri: b_{\min} = 6
Toplamları:
a + b = 5 + 6 = 11
CEVAP: D) 11 (a_{\max} + b_{\min} = 5 + 6 = 11)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: En sık düşülen tuzak, 3 < \log_2 10 < 4 ve 2 < \log_3 10 < 3 eşitsizliklerini doğrudan toplayıp üst sınırı 7 kabul ederek b’yi 7 seçmektir. 2^{3{,}5} > 10 ve 3^{2{,}5} > 10 kontrolleri yapılarak toplamın 6’dan küçük olduğu netleştirilmelidir.