a ve b birer gerçel sayı olmak üzere,
4a+
eşitliği veriliyor.
hangisidir?
A) -2
Buna göre, a - b^{2} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
= 4a-b2
B) -1
C)o
D) 1
E) 2
Soru Fotoğrafı:
a ve b birer gerçel sayı olmak üzere verilen eşitlikte a - b^2 ifadesinin değerini bulma
Kullanılan Eşitlik ve İfade:
Verilen eşitlik:
4a^2 + \frac{1}{4b^2} = 4a - b^2
Bulmak istediğimiz ifade:
a - b^{2}
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Eşitliği düzenleyelim
Verilen eşitliği aynen yazalım:
4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} = 4a - b^{2}
İki tarafı da 4a - b^{2} cinsinden kullanalım.
Adım 2 — İfadenin yapısına odaklanalım
Amaç: a - b^{2} ifadesinin değerini bulmak.
Elde edilen formülde terimler karışık, bu yüzden a - b^{2} ifadesini çekmeye çalışalım.
Adım 3 — 4a - b^{2} ifadesinin değerini bulmaya çalışalım
Verilen eşitlikteki sağ taraf:
4a - b^{2}
Şunu deneyebiliriz:
4a - b^{2} = 4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}}
Sol taraf birinci dereceden terimler içerirken, sağ taraf ikinci dereceden terimler içeriyor.
Adım 4 — Değişkenleri değiştirelim
Şimdi, a ve b pozitif olsun (ya da en azından ikisi de sıfırdan farklı gerçek sayı) ve aşağıdaki ifadeleri deneyelim:
(2a - \frac{1}{2b})^{2} \text{ ifadesini açalım.}
Açılımı:
(2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot \frac{1}{2b} + \left(\frac{1}{2b}\right)^2 = 4a^{2} - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{b} + \frac{1}{4b^{2}}
Fakat verilen eşitlikte ortadaki terim olan - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{b} yok. Bu nedenle şu anda doğrudan kullanamayız.
Adım 5 — Örnek değerler deneyelim
a = 1 ve b=1 için verilen eşitliği kontrol edelim:
Sol taraf:
4\cdot 1^2 + \frac{1}{4 \cdot 1^2} = 4 + \frac{1}{4} = 4.25
Sağ taraf:
4 \cdot 1 - 1^{2} = 4 - 1 = 3
Eşit değiller. Yani a=1, b=1 bu eşitliği sağlamıyor.
Adım 6 — Soruda amaç, a - b^{2} ifadesini bulmak olduğuna göre, 4a - b^{2} ve 4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} ifadesinden yola çıkarak farkları gözlemleyelim:
Verilen eşitliğin her iki tarafına da -4a ve +b^{2} ekleyelim:
4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} -4a + b^{2} = 0
Şimdi bu ifadeyi açalım ve mümkünse çarpanlara ayırmaya çalışalım:
(2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^{2} + \frac{1}{4b^{2}} + b^{2} - 1 = 0
Burada bir hata olabileceği açık değil, çünkü eşitliği doğrudan çarpanlara ayıramıyoruz.
Adım 7 — Bilgi eksikliği veya soru hatası olasılığı
- Soruda tam ya da net bir eşitlik verilmiyor veya fotoğraf net değil.
- Ancak, mantıklı olan şudur ki a - b^{2} ifadesi mutlak bir sayı olarak verilmiş.
Adım 8 — Sorudaki şıklara bakarak ve probleme genel bakış yaparak mantıklı çözüm:
Eşitlik:
4a^{2} + \frac{1}{4b^{2}} = 4a - b^{2}
Buradan 4a - b^{2} ifadesi, soldaki gibi pozitif bir ifade olabilir.
Eğer kare tamamlama yaparsak:
4a^{2} - 4a + \frac{1}{4b^{2}} + b^{2} =0
Ama ilk iki terimi:
4a^{2} - 4a = 4(a^{2} - a) = 4(a^{2} - a + \frac{1}{4}) -1 = 4(a-\frac{1}{2})^{2} - 1
Öyleyse:
4(a-\frac{1}{2})^{2} - 1 + \frac{1}{4b^{2}} + b^{2} = 0
Bunu düzenleyelim:
4(a-\frac{1}{2})^{2} + b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} -1 = 0
Burada b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} ifadesi her zaman 1 veya daha büyük olabilir (çünkü x + \frac{1}{x} \geq 2 olur, ama burada katsayı farklı).
Ama minimum değer b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} pozitif ve minimal olabilir.
Şimdi buradaki eşitliği şöyle yazalım:
4(a-\frac{1}{2})^{2} + \left( b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} \right) = 1
Bu ifade sıfıra eşit olmuyorsa sonuç minimum olabilir.
Buradan 4(a - \frac{1}{2})^{2} ve b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} terimleri toplamı 1 olduğuna göre, her terim sıfırdan büyük veya eşit.
Mümkün olan tek durum:
4(a-\frac{1}{2})^{2} = 0 \implies a= \frac{1}{2}
ve
b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} =1
Adım 9 — b için denklemi çözelim
Eşitlik:
b^{2} + \frac{1}{4b^{2}} = 1
Her iki tarafı 4b^{2} ile çarparak denklem kur:
4b^{4} + 1 = 4b^{2}
Yeniden yazalım:
4b^{4} - 4b^{2} + 1 = 0
Şimdi x = b^{2} alalım:
4x^{2} - 4x + 1 =0
Bunu çözelim:
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 -16 = 0
Tek çözüm var:
x = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}
Yani:
b^{2} = \frac{1}{2} \implies b = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
Adım 10 — Son olarak a - b^{2} ifadesini hesaplayalım
a - b^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 0 yani C şıkkı
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Kare tamamlama yöntemi
- Denklem çözme ve yer değiştirme
- Kare kök ve mutlak değer
Yaygın Hatalar:
a - b^{2} ifadesini doğrudan yerine koymak
Eşitliği yanlış kullanmak
Kare tamamlamayı doğru yapmamak
Başka bir konu ya da örnek istersen söyleyebilirsin! 
Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Adım Adım ve Anlaşılır Çözüm: a - b^{2} ifadesinin değeri
Verilen eşitlik:
4a^2 + \frac{1}{4b^2} = 4a - b^2
Bulmak istediğimiz ifade:
a - b^2
1. Adım — Eşitliği bir tarafa toplayalım
Verilen eşitliği şu şekilde düzenleyelim:
4a^2 + \frac{1}{4b^2} - 4a + b^2 = 0
2. Adım — Kare tamamlama yapalım
İlk iki terime odaklanarak kare tamamlama uygulayalım:
4a^2 - 4a = 4(a^2 - a)
Şimdi aşağıdaki gibi yazalım:
a^2 - a = a^2 - a + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}
Bunu ilk iki terime geri uygulayalım:
4(a^2 - a) = 4\left[(a-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right] = 4(a-\frac{1}{2})^2 - 1
3. Adım — Eşitliği bu şekle getirelim
Eşitlik artık şöyle olur:
4(a-\frac{1}{2})^2 - 1 + \frac{1}{4b^2} + b^2 = 0
Bunu biraz daha düzenleyelim:
4(a-\frac{1}{2})^2 + b^2 + \frac{1}{4b^2} = 1
4. Adım — Terimlerin en küçük değerlerini inceleyelim
- 4(a - \frac{1}{2})^2 \geq 0 çünkü karesi her zaman sıfır veya pozitif.
- b^2 + \frac{1}{4b^2} \geq 1 olacak mı bakalım.
Öncelikle b^2 + \frac{1}{4b^2} ifadesinin en küçük değerini bulalım:
5. Adım — b^2 + \frac{1}{4b^2} ifadesinin minimumu
Bu tür ifadelerde AM-GM eşitsizliği kullanılır:
\frac{b^2 + \frac{1}{4b^2}}{2} \geq \sqrt{b^2 \cdot \frac{1}{4b^2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}
Buna göre:
b^2 + \frac{1}{4b^2} \geq 1
6. Adım — Toplamın eşitliği sağlayabilmesi için her terim ne olmalı?
Toplamın 1 olması için:
- 4(a-\frac{1}{2})^2 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}
- ve b^2 + \frac{1}{4b^2} = 1 eşitliği sağlamalıdır.
7. Adım — b^2 + \frac{1}{4b^2} = 1 denklemini çözelim
Her iki tarafı 4b^2 ile çarparız:
4b^4 + 1 = 4b^2
Düzenlersek:
4b^4 - 4b^2 + 1 = 0
Şimdi x = b^2 alalım:
4x^2 - 4x + 1 = 0
8. Adım — Bu ikinci derece denklemi çözelim
Diskriminant:
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0
Tek kök:
x = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}
Yani:
b^2 = \frac{1}{2}
9. Adım — Sonuç: a - b^{2} değerini hesaplayalım
a - b^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: a - b^{2} = \boxed{0} (C şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka sorular veya örnekler için sormaya devam edebilirsin!
a ve b birer gerçel sayı olmak üzere, \;4a^{2}+\dfrac{1}{4b^{2}}=4a-b^{2}\; eşitliği veriliyor. Buna göre, a-b^{2} ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi düzenle ve kare tamamlama yap
Denklemi bir tarafa topla:
4a^{2}+\dfrac{1}{4b^{2}}-4a+b^{2}=0
a terimleri için kare tamamlama yap:
4\bigl(a^{2}-a\bigr)+\dfrac{1}{4b^{2}}+b^{2}=0
4\Bigl((a-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}\Bigr)+\dfrac{1}{4b^{2}}+b^{2}=0
4(a-\tfrac{1}{2})^{2}-1+\dfrac{1}{4b^{2}}+b^{2}=0
b terimleri için ifade düzenle:
b^{2}+\dfrac{1}{4b^{2}}=(b-\tfrac{1}{2b})^{2}+1
Bunları denklemde yerine koy:
4(a-\tfrac{1}{2})^{2}-1+(b-\tfrac{1}{2b})^{2}+1=0
4(a-\tfrac{1}{2})^{2}+(b-\tfrac{1}{2b})^{2}=0
Toplam iki kare olduğuna göre her iki kare de sıfır olmalıdır:
a-\tfrac{1}{2}=0
b-\tfrac{1}{2b}=0
Bunlardan:
a=\tfrac{1}{2}
ve
b^{2}=\tfrac{1}{2}
elde edilir.
Adım 2 — A Seçeneğini İncele
A) -2
a ve b^{2} değerlerini kullan:
a-\;b^{2}
=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}
=0
Bu, -2 ile eşit değildir.
Adım 3 — B Seçeneğini İncele
B) -1
Önceki hesaplamaya göre:
a-b^{2}=0
Bu, -1 ile eşit değildir.
Adım 4 — C Seçeneğini İncele
C) 0
Önceki hesaplamaya göre:
a-b^{2}=0
Bu seçenek ile çelişmiyor.
Adım 5 — D Seçeneğini İncele
D) 1
Önceki hesaplamaya göre:
a-b^{2}=0
Bu, 1 ile eşit değildir.
Adım 6 — E Seçeneğini İncele
E) 2
Önceki hesaplamaya göre:
a-b^{2}=0
Bu, 2 ile eşit değildir.
Adım 7 — Seçenek Karşılaştırması
C. 0 — Bu seçenek doğru olanıdır çünkü a=\tfrac{1}{2} ve b^{2}=\tfrac{1}{2} olduğundan a-b^{2}=0.
A. -2 — Yanlış; a-b^{2}=0 olduğundan farklıdır.
B. -1 — Yanlış; a-b^{2}=0 olduğundan farklıdır.
D. 1 — Yanlış; a-b^{2}=0 olduğundan farklıdır.
E. 2 — Yanlış; a-b^{2}=0 olduğundan farklıdır.
Adım 8 — Son Doğrulama
Denklemden kare tamamlama ile a=\tfrac{1}{2} ve b^{2}=\tfrac{1}{2} bulundu; bunları yerine koyunca a-b^{2}=0 elde edilir. Dolayısıyla doğru seçenek C şıkkıdır.
CEVAP: C) 0
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kare tamamlama
- Tanım: Bir ikinci dereceden ifadeyi tam kare ve sabit terim olarak yazma yöntemi.
- Bu problemde: a terimleri için kare tamamlama yapılarak 4(a-\tfrac{1}{2})^{2} elde edildi.
2. Pozitif karelerin toplamı sıfır ise
- Tanım: İki kare toplamı sıfırsa her biri sıfırdır.
- Bu problemde: Hem 4(a-\tfrac{1}{2})^{2} hem de (b-\tfrac{1}{2b})^{2} sıfır olmak zorundaydı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kare tamamlama unutulması
- Yanlış: Doğrudan terimleri taşımak ve çözmeye çalışmak.
- Doğru: Kare tamamlama ile ifadelerin pozitif kareler toplamı haline getirilmesi.
- Neden yanlış: Doğru kısıtları (karelerin sıfır olması) gözden kaçırır.
- Düzeltme: Kare tamamlama adımlarını açıkça yapın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?