A ve b birer gerçek sayı olmak üzere eşitlikleri veriliyor

YKS TYT
1

a ve b birer gerçek sayı olmak üzere
a. (a- b) =37
b.(a-b) = 12
eşitlikleri veriliyor.
a<bolduğuna göre a -b farkı kaçtır?
A) -7
B) -6
C) -5
D) -4
E)-3

a ve b birer gerçek sayı olmak üzere b.(a-b) = 12 eşitlikleri veriliyor.
a ve b birer gerçek sayı olmak üzere b.(a-b) = 12 eşitlikleri veriliyor.1024×768 64 KB

2

a \cdot (a - b) = 37 ve b \cdot (a - b) = 12 Eşitliklerine Göre a - b Farkının Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Ortak Çarpan Parantezine Alma: x \cdot k - y \cdot k = (x - y) \cdot k
  • Tam Kare İfadeler: x^2 = k^2 \implies x = k \text{ veya } x = -k
  • Eşitsizlik Kuralı: a < b \iff a - b < 0

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen Eşitlikleri Taraf Tarafa Çıkarma

Verilen iki denklemi alt alta yazıp birbirinden çıkaralım:

a \cdot (a - b) = 37
b \cdot (a - b) = 12

Taraf tarafa çıkarma işlemi yapıldığında:

a \cdot (a - b) - b \cdot (a - b) = 37 - 12

Adım 2 — Ortak Çarpan Parantezine Alma

Eşitliğin sol tarafındaki ifadelerde (a - b) ortak çarpandır. İfadeyi (a - b) parantezine alalım:

(a - b) \cdot (a - b) = 25
(a - b)^2 = 25

Adım 3 — Kökleri Belirleme ve Şartı Uygulama

Karesi 25 olan gerçek sayılar 5 ve -5’tir:

a - b = 5 \quad \text{veya} \quad a - b = -5

Soruda verilen a < b koşulunu inceleyelim:

a < b \implies a - b < 0

Farkın negatif olması gerektiğinden:

a - b = -5

Doğru seçenek C şıkkıdır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: C) -5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Ortak Çarpan Parantezi

  • Tanım: Bir cebirsel ifadede her terimde bulunan ortak çarpanın parantez dışına alınması işlemidir.
  • Bu problemde: a(a-b) - b(a-b) ifadesi (a-b)(a-b) = (a-b)^2 şeklinde sadeleştirilmiştir.

2. Eşitsizlik ve İşaret Analizi

  • Tanım: Küçük bir sayıdan büyük bir sayı çıkarıldığında sonuç daima negatiftir.
  • Bu problemde: a < b bilgisi, a - b sonucunun pozitif olan 5 değil, negatif olan -5 olmasını zorunlu kılmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: a < b Şartını Göz Ardı Etmek

  • Yanlış: (a-b)^2 = 25 \implies a - b = 5 diyerek pozitif değeri almak.
  • Doğru: a < b olduğu için a - b < 0 olmalı, bu nedenle a - b = -5 seçilmelidir.
  • Neden yanlış: Karesi 25 olan iki sayı vardır (5 ve -5). Koşul kontrol edilmezse yanlış kök seçilebilir.

Bu tip çarpanlara ayırma ve denklem sistemi sorularını pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmek ister misin?