a ve b birbirinden farklı birer asal rakam olduğuna göre a + b işleminin sonucu en fazla kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 8
D) 12
5^{-1} + 5^0 + 5^1
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5,9
B) 6,2
C) 6,4
D) 6,5
A3 ve 3A aralarında asal iki basamaklı doğal sayılardır.
Buna göre A yerine yazılabilecek kaç farklı rakam vardır?
B) 6
C) 7
D) 8
Aşağıda üç farklı sayı doğrusu çizilmiş ve bu sayı doğrularının üzerinde bulunan bazı sayıların konumları gösterilmiştir.
(Sayı doğruları üzerindeki ifadeler: 20, 2^a, 70 ; 25, 2^b, 90 ; 0,01, 2^c, 0,1)
a, b ve c birer tam sayı olduğuna göre
Asal Rakamlar ve Toplamın En Büyük Değeri (Soru 1)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Asal sayılar, yalnızca 1’e ve kendisine kalansız bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır. Rakamlar kümesi \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} içerisindeki asal rakamlar \{2, 3, 5, 7\} kümesidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Asal Rakamları Belirleme
Rakamlar arasından asal olanlar küçükten büyüğe 2, 3, 5, 7 olmak üzere 4 tanedir.
Adım 2 — En Büyük İki Asal Rakamı Seçme ve Toplama
a ve b birbirinden farklı asal rakamlar olarak verildiğinden, a + b toplamının en büyük değerini alması için kümedeki en büyük iki asal rakam seçilir:
a = 7 \quad \text{ve} \quad b = 5
a + b = 7 + 5 = 12
CEVAP: D) 12 (a + b = 12)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: 9 bir asal sayı değildir (3 \times 3 = 9). Asal rakamlar sorularında en büyük asal rakamın 7 olduğunu unutmamak çeldiriciye düşmeyi engeller.
Aralarında Asal Sayılar ve Basamak Analizi (Soru 2)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Birden başka ortak pozitif böleni olmayan pozitif tam sayılara aralarında asal sayılar denir (\text{EBOB}(x, y) = 1). A3 ve 3A iki basamaklı sayı olduğundan A \neq 0 olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — A Rakamının Alabileceği Değerleri İnceleme
A \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} rakamları için A3 ve 3A sayı ikililerinin ortak bölenleri test edilir:
- A = 1 \implies 13 ve 31 sayıları asaldır; aralarında asaldır. (Sağlar)
- A = 2 \implies 23 ve 32 sayılarından 23 asal olup 32’yi bölmez; aralarında asaldır. (Sağlar)
- A = 3 \implies 33 ve 33 sayılarının \text{EBOB}(33, 33) = 33 \neq 1; aralarında asal değildir. (Sağlamaz)
- A = 4 \implies 43 ve 34 sayılarından 43 asal olup 34’ü bölmez; aralarında asaldır. (Sağlar)
- A = 5 \implies 53 ve 35 sayılarından 53 asal olup 35’i bölmez; aralarında asaldır. (Sağlar)
- A = 6 \implies 63 ve 36 sayılarının ikisi de 3 ve 9 ile bölünür; aralarında asal değildir. (Sağlamaz)
- A = 7 \implies 73 ve 37 sayılarının ikisi de asaldır; aralarında asaldır. (Sağlar)
- A = 8 \implies 83 ve 38 sayılarından 83 asal olup 38’i bölmez; aralarında asaldır. (Sağlar)
- A = 9 \implies 93 ve 39 sayılarının ikisi de 3 ile bölünür; aralarında asal değildir. (Sağlamaz)
Adım 2 — Geçerli Değer Sayısını Belirleme
A yerine yazılabilecek uygun rakamlar \{1, 2, 4, 5, 7, 8\} olmak üzere 6 tanedir.
CEVAP: B) 6 (A \in \{1, 2, 4, 5, 7, 8\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: A rakamı 3’ün katı olduğunda (A \in \{3, 6, 9\}) hem A3 hem de 3A sayılarının rakamları toplamı 3’ün katı olacağından her iki sayı da 3’e tam bölünür ve aralarında asallık bozulur.
Negatif Üs ve Ondalık Gösterim (Soru 4)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sıfır dışındaki her gerçel sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir (x^0 = 1). Negatif üs kuralına göre x^{-n} = \frac{1}{x^n} eşitliği kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Üslü İfadelerin Değerlerini Hesaplama
Verilen 5^{-1} + 5^0 + 5^1 işlemindeki her terim ayrı ayrı hesaplanır:
5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{2}{10} = 0,2
5^0 = 1
5^1 = 5
Adım 2 — Terimleri Toplama
Bulunan ondalık ve tam sayı değerleri toplanır:
0,2 + 1 + 5 = 6,2
CEVAP: B) 6,2