A ve b asal sayılardır. | 1793735196949

Question Answer
1

a ve b asal sayılardır.
a = \frac{5b + 18}{b}
olduğuna göre, a^2 + b^2 toplamının değeri kaçtır?
A) 54
B) 58
C) 74
D) 125
E) 130

2

Asal Sayılar ve Kesirli İfadelerde Değer Bulma

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Rasyonel bir ifade paydanın terimlerine ayrılarak \frac{Ax + B}{x} = A + \frac{B}{x} biçiminde yazılır. Bir sayının asal olabilmesi için yalnızca 1 ve kendisine bölünen, 1’den büyük bir doğal sayı olması gerekir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Verilen Kesirli İfadeyi Parçalama
Eşitliğin sağ tarafındaki kesri ortak paydadan ayırarak tam ve kesirli kısım şeklinde yazalım:

a = \frac{5b + 18}{b} = \frac{5b}{b} + \frac{18}{b} = 5 + \frac{18}{b}

Adım 2 — Asal Bölen Şartını İnceleme
a bir tam sayı (asal sayı) olduğuna göre, b sayısı 18’i tam bölmelidir. Soruda b’nin de bir asal sayı olduğu belirtildiğinden, 18’in asal bölenleri olan 2 ve 3 değerleri incelenir:

  • b = 2 için:
    a = 5 + \frac{18}{2} = 5 + 9 = 14
    14 bir asal sayı olmadığından (14 = 2 \cdot 7) bu durum elenir.
  • b = 3 için:
    a = 5 + \frac{18}{3} = 5 + 6 = 11
    11 bir asal sayıdır. Dolayısıyla a = 11 ve b = 3 koşulları sağlar.

Adım 3 — İstenen Toplamı Hesaplama
Bulunan a = 11 ve b = 3 değerlerinin kareleri toplamı alınır:

a^2 + b^2 = 11^2 + 3^2 = 121 + 9 = 130

:white_check_mark: CEVAP: E) 130 (a^2 + b^2 = 130)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Pay ve paydada aynı değişken bulunduğunda ifadeyi polinom bölmesiyle tam sayılı kesre çevirmek, denenecek sayı adedini yalnızca payın bölenleriyle sınırlar ve işlem kolaylığı sağlar.