a ve b asal sayılardır.
a = \frac{5b + 18}{b}
olduğuna göre, a^2 + b^2 toplamının değeri kaçtır?
A) 54
B) 58
C) 74
D) 125
E) 130
Asal Sayılar ve Bölünebilme ile Değer Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Rasyonel ifadeleri a = \frac{5b + 18}{b} = 5 + \frac{18}{b} biçiminde parçalayarak tam sayı ve asallık şartını incelemek, bölen analizini doğrudan 18’in asal çarpanlarına indirger.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — İfadeyi Tam Sayı Formatına Getirme
Verilen kesirli ifadeyi ortak paydadan ayırarak sadeleştirelim:
a = \frac{5b}{b} + \frac{18}{b} \implies a = 5 + \frac{18}{b}
Adım 2 — b Asal Sayısının Değerlerini Belirleme
a bir tam sayı (asal) olduğuna göre b, 18 sayısını tam bölen bir asal sayı olmalıdır. 18’in pozitif bölenleri \{1, 2, 3, 6, 9, 18\} olup aralarındaki asal sayılar yalnızca 2 ve 3’tür:
-
b = 2 durumu için:
a = 5 + \frac{18}{2} = 5 + 9 = 1414 sayısı asal olmadığı için bu durum elenir.
-
b = 3 durumu için:
a = 5 + \frac{18}{3} = 5 + 6 = 1111 sayısı asal bir sayıdır. Dolayısıyla şartları sağlayan değerler a = 11 ve b = 3’tür.
Adım 3 — İstenen a^2 + b^2 Toplamını Hesaplama
Bulunan değerlerin kareleri toplamı:
a^2 + b^2 = 11^2 + 3^2 = 121 + 9 = 130
CEVAP: E) 130 (a^2 + b^2 = 130)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür kesirli sorularda payı paydaya bölerek polinom bölmesi yapmak, aranan değişkenin yalnızca sabit terimin (18) bölenleri arasından seçilmesini sağlar; işlem kalabalığını önler. Bulunan sonucun da asal sayı tanımına uygunluğu mutlaka kontrol edilmelidir.