A ve B aralarında asal iki doğal sayıdır. EBOB(A,B) + EKOK(A,B) = 57 olduğuna göre A + B toplamı en az ve en çok kaçtır? Aralarında asal sayıların EBOB ve EKOK kurallarını detaylı anlatır mısınız?
[Özet Yanıt]
Aralarında asal sayıların EBOB’u daima 1’dir, EKOK’u ise bu sayıların çarpımına eşittir (\text{EKOK}(A,B) = A \cdot B). Bu nedenle \text{EBOB}(A,B) + \text{EKOK}(A,B) = 1 + A \cdot B = 57 \implies A \cdot B = 56 olur. A+B toplamı en çok 56+1=57, aralarında asal en yakın çarpanlar seçildiğinde ise en az 7+8=15 olur.
1. Aralarında Asal Sayıların 4 Temel Özelliği
- 1 Dışında Ortak Bölen Yoktur: Sayıların kendileri asal olmak zorunda değildir (örneğin 8 ve 9 asal değildir ama aralarında asaldır).
- EBOB Kuralı: \text{EBOB}(A, B) = 1
- EKOK Kuralı: \text{EKOK}(A, B) = A \cdot B
- Ardışık Sayılar: Ardışık iki tam sayı (örneğin n ve n+1) daima aralarında asaldır.
2. Adım Adım Soru Çözümü
Verilen eşitlik:
\text{EBOB}(A, B) + \text{EKOK}(A, B) = 57
Aralarında asal olduklarından \text{EBOB}(A, B) = 1 yerine yazılır:
1 + A \cdot B = 57 \implies A \cdot B = 56
Şimdi çarpımları 56 olan ve aralarında asal olan doğal sayı çiftlerini listeleyelim:
- 1 \cdot 56 = 56 \rightarrow \text{EBOB}(1, 56) = 1 (Aralarında asal) \implies A+B = 1 + 56 = 57 (En Çok)
- 2 \cdot 28 = 56 \rightarrow \text{EBOB}(2, 28) = 2 (Aralarında asal DEĞİL, elenir!)
- 4 \cdot 14 = 56 \rightarrow \text{EBOB}(4, 14) = 2 (Aralarında asal DEĞİL, elenir!)
- 7 \cdot 8 = 56 \rightarrow \text{EBOB}(7, 8) = 1 (Aralarında asal) \implies A+B = 7 + 8 = 15 (En Az)
3. Sınav Hilesi / Pratik Yol
Çarpımları sabit olan iki sayının toplamının:
- En büyük olması için sayılar birbirine en uzak seçilir (1 ve 56).
- En küçük olması için sayılar birbirine en yakın seçilir (7 ve 8).
Aralarında Asal Sayılarda EBOB-EKOK ve Toplamın Alabileceği Değerler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- A ve B aralarında asal iki doğal sayı ise:\text{EBOB}(A, B) = 1\text{EKOK}(A, B) = A \cdot B
- Herhangi iki doğal sayı için geçerli genel bağıntı:\text{EBOB}(A, B) \cdot \text{EKOK}(A, B) = A \cdot B
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Aralarında Asal Olma Özelliğinin Eşitliğe Uygulanması
A ve B aralarında asal olduğundan ortak bölenleri yalnızca 1’dir; dolayısıyla \text{EBOB}(A, B) = 1 olur. Ortak asal çarpanları bulunmadığı için en küçük ortak katları bu iki sayının doğrudan çarpımına eşittir, yani \text{EKOK}(A, B) = A \cdot B. Verilen eşitlikte bu değerler yerine yazılır:
\text{EBOB}(A, B) + \text{EKOK}(A, B) = 57
1 + (A \cdot B) = 57
A \cdot B = 56
Adım 2 — Çarpımları 56 Olan ve Aralarında Asal Olan Sayı Çiftlerinin Belirlenmesi
Çarpımı 56 olan tüm pozitif doğal sayı ikilileri yazılır ve aralarında asal olup olmadıkları incelenir:
- 1 \cdot 56 = 56 \implies \text{EBOB}(1, 56) = 1 (1 sayısı tüm pozitif doğal sayılarla aralarında asaldır, uygundur)
- 2 \cdot 28 = 56 \implies \text{EBOB}(2, 28) = 2 \neq 1 (2’ye bölünürler, aralarında asal değildir)
- 4 \cdot 14 = 56 \implies \text{EBOB}(4, 14) = 2 \neq 1 (2’ye bölünürler, aralarında asal değildir)
- 7 \cdot 8 = 56 \implies \text{EBOB}(7, 8) = 1 (Ardışık sayılar daima aralarında asaldır, uygundur)
Adım 3 — A + B Toplamının En Küçük ve En Büyük Değerlerinin Hesaplanması
Uygun (A, B) sayı çiftleri için toplamlar hesaplanır:
- A = 1 ve B = 56 için:A + B = 1 + 56 = 57
- A = 7 ve B = 8 için:A + B = 7 + 8 = 15
Çarpanlar birbirine en uzak seçildiğinde toplam en büyük, birbirine en yakın seçildiğinde ise toplam en küçük değerini alır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- A + B toplamı en çok: 57
- A + B toplamı en az: 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR VE DETAYLI KURALLAR:
- Aralarında Asal Sayılar: 1’den başka pozitif ortak böleni olmayan iki veya daha fazla doğal sayıya denir. Sayıların kendilerinin tek tek asal olması zorunlu değildir (Örneğin; 8 ve 9 asal değildir ancak \text{EBOB}(8, 9) = 1 olduğu için aralarında asaldır).
- \text{EBOB}(A, B) = 1 Kuralı: İki sayının 1 haricinde hiçbir ortak çarpanı bulunmadığı için en büyük ortak bölen tanım gereği doğrudan 1 olur.
- \text{EKOK}(A, B) = A \cdot B Kuralı: Genel kural gereği \text{EBOB}(A, B) \cdot \text{EKOK}(A, B) = A \cdot B’dir. \text{EBOB}(A, B) = 1 yerine yazıldığında 1 \cdot \text{EKOK}(A, B) = A \cdot B \implies \text{EKOK}(A, B) = A \cdot B elde edilir.
- Ardışık Sayılar Kuralı: Ardışık iki doğal sayı (n ile n+1) daima aralarında asaldır. Bu soruda 7 ile 8 bu kuralı doğrular.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: A \cdot B = 56 bulunduktan sonra 4 \cdot 14 = 56 alıp A+B = 4 + 14 = 18 sonucuna ulaşmak.- Doğru Yaklaşım: 4 ve 14 sayılarının her ikisi de 2’ye bölündüğü için aralarında asal olma şartını sağlamaz, çözüm kümesine dahil edilemez.
Bu soru tipinde sayıların üçlü olması durumunda \text{EKOK} kuralının nasıl değiştiğini incelemek veya benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misiniz?