a ve b 1’den farklı doğal sayılar olmak üzere, \sqrt{648} sayısı a\sqrt{b} şeklinde yazılacaktır.
a ve b aralarında asal olduğuna göre, a + b işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 17
B) 20
C) 24
D) 164
Kareköklü İfadeleri a\sqrt{b} Şeklinde Yazma ve Aralarında Asal Sayılar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir kareköklü ifade a\sqrt{b} biçiminde yazılırken kök dışındaki katsayının karesi kök içi ile çarpıldığında ana sayıyı verir (a^2 \cdot b = 648). Ortak böleni yalnızca 1 olan doğal sayılara aralarında asal sayılar denir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma
648 sayısının asal çarpan algoritmasını çıkararak tam kare çarpanlarını belirleyelim:
648 = 2^3 \cdot 3^4 = 8 \cdot 81
Adım 2 — Olası a\sqrt{b} Durumlarını İnceleme
a^2 \cdot b = 648 eşitliğini sağlayan ve a > 1, b > 1 olan tam kare çarpanları kök dışına çıkaralım:
- a = 2 \implies b = 162 \quad (\text{EBOB}(2, 162) = 2 \neq 1)
- a = 3 \implies b = 72 \quad (\text{EBOB}(3, 72) = 3 \neq 1)
- a = 6 \implies b = 18 \quad (\text{EBOB}(6, 18) = 6 \neq 1)
- a = 18 \implies b = 2 \quad (\text{EBOB}(18, 2) = 2 \neq 1)
- a = 9 \implies a^2 = 81 olduğundan:
b = \frac{648}{81} = 8
Adım 3 — Aralarında Asallık Kontrolü ve Toplam
a = 9 ve b = 8 değerleri ardışık doğal sayılar olduğu için aralarında asaldır (\text{EBOB}(9, 8) = 1). Buradan toplam:
a + b = 9 + 8 = 17
CEVAP: A) 17 (a = 9, b = 8)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda en sade hâli olan 18\sqrt{2} ifadesine doğrudan atlamak çeldiricidir; çünkü 18 ile 2 aralarında asal değildir. Çift sayıların aralarında asal olamayacağını unutmamak hız kazandırır.