al
da
n
22. Bir manavda hatalı tartim yapan iki terazi bulunmaktadır.
A terazisi üzerinde tartilan ağırliğı gerçek ağırlığından
ağırliğından %30 fazla göstermektedir. Bu manav
kilogramını 8 TL’den almış olduğu 100 kilogram patatesin
tamamını %30 kârla satmak istiyor.o Sg
34
Bu manavın tüm patatesleri sattiktan sonraki kâr
240 TL olduğuna göre, satilan patateslerin kaç
kilogramı A terazisinde tartilmiştır?
A) 30
B) 40
.A8ox
B- 13axI39
C) 50
D) 60
E) 70
Hatalı Terazilerde Kâr ve Ağırlık Probleminin Çözümü
KULLANILAN FORMÜLLER VE İLİŞKİLER:
- Toplam Maliyet: \text{Maliyet} = \text{Toplam Miktar} \times \text{Alış Fiyatı}
- Etiket Satış Fiyatı: \text{Satış Fiyatı} = \text{Alış Fiyatı} \times (1 + \text{Kâr Oranı})
- Toplam Gelir: \text{Gelir} = \text{Tartılan Toplam Miktar} \times \text{Satış Fiyatı}
- Net Kâr: \text{Kâr} = \text{Toplam Gelir} - \text{Toplam Maliyet}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Toplam Maliyeti ve Kilogram Satış Fiyatını Belirleme
Manav, kilogramını 8\text{ TL}'den aldığı 100\text{ kg} patates için toplam maliyeti öder:
\text{Toplam Maliyet} = 100\text{ kg} \times 8\text{ TL/kg} = 800\text{ TL}
Patateslerin kilogramı \%30 kârla satılmak istendiğinden kilogram satış fiyatı:
\text{Satış Fiyatı} = 8 \times \left(1 + \frac{30}{100}\right) = 8 \times 1{,}30 = 10{,}4\text{ TL/kg}
Adım 2 — Elde Edilen Toplam Geliri Bulma
Manavın tüm satış sonunda elde ettiği kâr 240\text{ TL} olduğuna göre, kasaya giren toplam para (gelir):
\text{Toplam Gelir} = \text{Maliyet} + \text{Kâr} = 800\text{ TL} + 240\text{ TL} = 1040\text{ TL}
Adım 3 — Terazilerde Tartılan Toplam Gösterge Ağırlığını Hesaplama
Kilogramı 10{,}4\text{ TL}'den satılarak 1040\text{ TL} gelir elde edildiğine göre, terazilerin gösterdiği toplam ağırlık:
\text{Tartılan Toplam Ağırlık} = \frac{1040\text{ TL}}{10{,}4\text{ TL/kg}} = 100\text{ kg}
Adım 4 — Terazilerdeki Miktarları Denklem Kurarak Bulma
- A terazisinde tartılan gerçek patates miktarı: x\text{ kg} olsun.
- B terazisinde tartılan gerçek patates miktarı: (100 - x)\text{ kg} olur.
Terazilerin hatalı tartım durumları:
- A terazisi: Gerçek ağırlığı \%20 eksik gösterdiğinden tartılan değer: x \times (1 - 0{,}20) = 0{,}8x\text{ kg}
- B terazisi: Gerçek ağırlığı \%30 fazla gösterdiğinden tartılan değer: (100 - x) \times (1 + 0{,}30) = 1{,}3(100 - x)\text{ kg}
Terazilerin gösterdiği toplam ağırlık 100\text{ kg} olmalıdır:
0{,}8x + 1{,}3(100 - x) = 100
0{,}8x + 130 - 1{,}3x = 100
130 - 0{,}5x = 100
0{,}5x = 30
x = \frac{30}{0{,}5} = 60\text{ kg}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 60 (Satılan patateslerin 60\text{ kg}'ı A terazisinde tartılmıştır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Hatalı Ölçüm Problemleri
- Tanım: Bir ölçü aletinin gerçek değeri belirli bir yüzde oranında eksik veya fazla göstermesi durumudur.
- Bu problemde: A terazisi gerçek ağırlığın 0{,}80 katını, B terazisi ise 1{,}30 katını göstermiştir.
2. Gelir-Maliyet-Kâr Bağıntısı
- Tanım: Satıştan elde edilen ciro (gelir), başlangıçtaki toplam harcama (maliyet) ile net kârın toplamına eşittir.
- Bu problemde: 800\text{ TL} maliyet ve 240\text{ TL} kâr ile hedeflenen toplam gelirin 1040\text{ TL} olduğu bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kârı sadece miktar üzerinden hesaplamaya çalışmak
- Yanlış: Terazilerdeki tartım hatalarını doğrudan 240\text{ TL}'ye eşitlemeye çalışmak veya satış fiyatını hesaba katmamak.
- Doğru: Önce kilogram satış fiyatını belirleyip, ardından toplam gelirden tartılan toplam kilograma ulaşmak.
- Neden yanlış: Kâr doğrudan para birimi (\text{TL}) cinsindendir; terazilerin tarttığı miktar ise ağırlık (\text{kg}) cinsindendir. Satış fiyatı köprü olarak kullanılmalıdır.
Bu tip hatalı terazi ve yüzde problemlerini daha iyi pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmemi ister misin?
adım adım değil direk sonucu gidersek o şekilde çöz
Hatalı Terazilerde Kâr ve Ağırlık Probleminin Pratik Çözümü
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Hedeflenen Kâr: \text{Hedef Kâr} = \text{Maliyet} \times \text{Kâr Oranı}
- Tartım Sapması Dengesi: Toplam tartılan miktar hedeflenen miktara eşitse, terazilerdeki eksik ve fazla tartım miktarlarının toplam sapması sıfır olur:\Delta m_{\text{toplam}} = (\text{Fazla Tartım}) - (\text{Eksik Tartım}) = 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Hedeflenen Kâr ile Gerçekleşen Kârı Karşılaştırma
- 100\text{ kg} patatesin maliyeti: 100 \times 8 = 800\text{ TL}
- \%30 kâr hedeflendiğinde beklenen kâr: 800 \times 0{,}30 = 240\text{ TL}
- Gerçekleşen kâr da tam olarak 240\text{ TL} olduğuna göre terazilerin gösterdiği toplam ağırlık, satılması gereken 100\text{ kg}'a tam eşittir. Yani toplam ağırlık sapması 0\text{ kg}'dır.
Adım 2 — Terazi Sapmalarını Oranlama
A terazisinde tartılan patates miktarı A, B terazisinde tartılan miktar B olsun:
- A terazisi \%20 eksik tarttığı için sapma: -0{,}20 \times A
- B terazisi \%30 fazla tarttığı için sapma: +0{,}30 \times B
Toplam sapma sıfır olduğuna göre:
0{,}30 \times B = 0{,}20 \times A
3B = 2A \implies \frac{A}{B} = \frac{3}{2}
Adım 3 — Toplam Miktardan A Terazisini Bulma
- A = 3k ve B = 2k olur.
- Toplam miktar: A + B = 100\text{ kg}
3k + 2k = 100\text{ kg} \implies 5k = 100\text{ kg} \implies k = 20\text{ kg}
A = 3 \times 20 = 60\text{ kg}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 60 (Satılan patateslerin 60\text{ kg}'ı A terazisinde tartılmıştır.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Sapma Dengesi Yöntemi (Pratik Oran-Orantı)
- Tanım: Gerçek kâr ile hedeflenen kâr birbirine eşit olduğunda, satış miktarındaki toplam sapma sıfır kabul edilir.
- Bu problemde: A terazisindeki \%20’lik kayıp, B terazisindeki \%30’luk fazla tartım ile doğrudan dengelenmiş ve ters orantıdan A/B = 3/2 oranı bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Ters Orantıyı Yanlış Kurmak
- Yanlış: \%20 ve \%30 oranlarını doğrudan A=2k, B=3k şeklinde almak.
- Doğru: Sapmalar eşitlendiğinde 0{,}20A = 0{,}30B bağıntısından A=3k ve B=2k olur.
- Neden yanlış: Katsayısı küçük olan değişkenin (0{,}20), dengeyi sağlamak için daha büyük bir pay alması gerekir.
Bu pratik sapma dengeleme yöntemiyle çözülebilecek benzer bir karışım veya terazi sorusu daha çözmemi ister misin?