a tam sayı olmak üzere,
\frac{3a - 10}{a}
ifadesi doğal sayı olduğuna göre, a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
\frac{3a - 10}{a} İfadesini Doğal Sayı Yapan a Tam Sayı Değerlerinin Sayısı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Rasyonel ifadeyi parçalama: \frac{A - B}{C} = \frac{A}{C} - \frac{B}{C}
- Doğal sayı tanımı: \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} (Sonucun hem tam sayı hem de \ge 0 olması gerekir).
- Tam sayı bölenleri: Bir kesrin tam sayı belirtmesi için paydanın, payı tam bölmesi gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen kesirli ifadeyi parçalayarak sadeleştirelim
\frac{3a - 10}{a} = \frac{3a}{a} - \frac{10}{a} = 3 - \frac{10}{a}
Adım 2 — a değerinin alabileceği tam sayı bölenlerini belirleyelim
İfadenin bir tam sayı sonucu vermesi için a’nın 10’un tam sayı böleni olması gerekir.
10’un tam sayı bölenleri:
a \in \{-10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10\}
Adım 3 — İfadenin doğal sayı (\ge 0) olma şartını inceleyelim
Sonucun bir doğal sayı olması için 3 - \frac{10}{a} \ge 0 şartı sağlanmalıdır. Tüm bölenleri yerine koyarak kontrol edelim:
-
Negatif Bölenler:
- a = -10 \implies 3 - \frac{10}{-10} = 3 - (-1) = 4 \in \mathbb{N}
- a = -5 \implies 3 - \frac{10}{-5} = 3 - (-2) = 5 \in \mathbb{N}
- a = -2 \implies 3 - \frac{10}{-2} = 3 - (-5) = 8 \in \mathbb{N}
- a = -1 \implies 3 - \frac{10}{-1} = 3 - (-10) = 13 \in \mathbb{N}
- a = -10 \implies 3 - \frac{10}{-10} = 3 - (-1) = 4 \in \mathbb{N}
-
Pozitif Bölenler:
- a = 1 \implies 3 - \frac{10}{1} = 3 - 10 = -7 \notin \mathbb{N} (Negatif olduğu için elenir)
- a = 2 \implies 3 - \frac{10}{2} = 3 - 5 = -2 \notin \mathbb{N} (Negatif olduğu için elenir)
- a = 5 \implies 3 - \frac{10}{5} = 3 - 2 = 1 \in \mathbb{N}
- a = 10 \implies 3 - \frac{10}{10} = 3 - 1 = 2 \in \mathbb{N}
- a = 1 \implies 3 - \frac{10}{1} = 3 - 10 = -7 \notin \mathbb{N} (Negatif olduğu için elenir)
Adım 4 — Sağlayan farklı değerleri sayalım
Şartı sağlayan a değerleri: \{-10, -5, -2, -1, 5, 10\} olmak üzere toplam 6 farklı değer vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kesirlerin Parçalanması (Polinom Bölmesi Sadeleştirmesi)
- Tanım: Payında değişken olan kesirler paydalarına bölünerek tam kısım ve basit kesir şeklinde yazılır.
- Bu problemde: \frac{3a-10}{a} ifadesi 3 - \frac{10}{a} olarak yazılarak a’nın sadece 10’u bölmesi gerektiği açıkça görülmüştür.
2. Doğal Sayı ve Tam Sayı Kümeleri Arasındaki Fark
- Tanım: Tam sayılar negatif değerleri de kapsarken (\mathbb{Z}), doğal sayılar yalnızca sıfır ve pozitif tam sayıları kapsar (\mathbb{N}).
- Bu problemde: a’nın tam sayı olması negatif değerler almasına izin verirken, sonucun doğal sayı olması elde edilen sonucun negatif olmasını engellemiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Negatif a değerlerini unutmak veya baştan elemek
- Yanlış: Soruda “doğal sayı” ifadesini görünce a’nın da sadece pozitif olacağını düşünüp yalnızca \{1, 2, 5, 10\} değerlerini denemek.
- Doğru: a’nın bir tam sayı olduğu belirtilmiştir; negatif a değerleri çıkarma işlemini toplamaya çevirerek sonucu pozitif bir doğal sayı yapabilir.
- Neden yanlış: a değişkeni tam sayı iken, ifadenin tamamının sonucu doğal sayıdır. Değişken ile ifadenin sonucunun ait olduğu sayı kümeleri karıştırılmamalıdır.
a = 1 ve a = 2 değerlerini dahil etmek
- Yanlış: 10’un tüm pozitif bölenlerini sağlamış kabul etmek.
- Doğru: a=1 ve a=2 için sonuç negatif çıktığından bu değerler elenmelidir.
- Neden yanlış: 3 - 10 = -7 ve 3 - 5 = -2 sayıları tam sayıdır fakat doğal sayı değildir.
Bu tip temel kavram ve tam sayı böleni sorularını pekiştirmek için benzer bir soru daha çözmemi ister misin?