a tam sayı olmak üzere, \frac{3a - 10}{a} ifadesi doğal sayı olduğuna göre a’nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
@Akademik_Rehber Bana bu cevabı Özetle
Rasyonel İfadelerin Doğal Sayı Olma Şartı ve Tam Sayı Bölenleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Payında ve paydasında değişken bulunan rasyonel ifadeler kalp kuralı (terim terim bölme) ile \frac{A \cdot a \pm B}{a} = A \pm \frac{B}{a} biçiminde tam sayılı kesre dönüştürülür. İfadenin bir doğal sayı (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}) belirtmesi için paydadaki değişkenin B’nin bir tam sayı böleni olması ve sonucun 0’a eşit veya büyük (\ge 0) çıkması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kesri Ayrıştırma ve a’nın Bölenlerini Belirleme
Verilen kesirli ifadeyi ortak paydadan ayırarak yazalım:
\frac{3a - 10}{a} = \frac{3a}{a} - \frac{10}{a} = 3 - \frac{10}{a}
Bu sonucun bir tam sayı çıkabilmesi için a değeri 10’un tam sayı böleni olmalıdır. 10’un bölen kümesi:
\text{Bölenler} = \{\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10\}
Adım 2 — Doğal Sayı (\ge 0) Şartını Kontrol Etme
İfadenin doğal sayı olması için 3 - \frac{10}{a} \ge 0 \implies \frac{10}{a} \le 3 eşitsizliği sağlanmalıdır.
-
Pozitif bölenler incelendiğinde:
- a = 1 \implies 3 - 10 = -7 < 0
(Doğal sayı değil) - a = 2 \implies 3 - 5 = -2 < 0 (Doğal sayı değil)
- a = 5 \implies 3 - 2 = 1 \in \mathbb{N}
- a = 10 \implies 3 - 1 = 2 \in \mathbb{N}
- a = 1 \implies 3 - 10 = -7 < 0
-
Negatif bölenler incelendiğinde:
a negatif bir tam sayı olduğunda -\frac{10}{a} pozitif bir değere dönüşeceğinden sonuç daima 3’ten büyük bir pozitif tam sayı olur:- a = -1 \implies 3 - (-10) = 13 \in \mathbb{N}
- a = -2 \implies 3 - (-5) = 8 \in \mathbb{N}
- a = -5 \implies 3 - (-2) = 5 \in \mathbb{N}
- a = -10 \implies 3 - (-1) = 4 \in \mathbb{N}
- a = -1 \implies 3 - (-10) = 13 \in \mathbb{N}
Dolayısıyla a’nın alabileceği değerler kümesi \{-10, -5, -2, -1, 5, 10\} olmak üzere 6 adettir.
CEVAP: 6 farklı değer (a \in \{-10, -5, -2, -1, 5, 10\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Soruda a için “tam sayı”, ifadenin tamamı için ise “doğal sayı” denildiğine dikkat edilmelidir. a’nın negatif tam sayı değerleri kesrin önündeki eksi işaretiyle birleşerek sonucu pozitif yapacağı için negatif bölenler mutlaka çözüme dahil edilmelidir.