A sıfırdan farklı bir rakam olmak üzere,
A bir basamaklı
AA iki basamaklı
AAA üç basamaklı1..
AA1.. A elli basamaklı
sayılarının toplamının 9 ile bölümünden kalan 3’tür.
Buna göre, A’nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
50 Basamaklı Sayıların Toplamının 9 ile Bölünebilmesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 9 ile Bölünebilme Kuralı: Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir. Birden fazla sayının toplamının 9 ile bölümünden kalan ise, bu sayıların rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir.
- Ardışık Sayıların Toplamı:
1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n \cdot (n+1)}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların Rakamları Toplamını İfade Etme
Verilen toplamdaki her bir sayının rakamları toplamını yazalım:
- A sayısının rakamları toplamı: 1 \cdot A
- AA sayısının rakamları toplamı: 2 \cdot A
- AAA sayısının rakamları toplamı: 3 \cdot A
- \dots
- \underbrace{AA\dots A}_{50\text{ basamak}} sayısının rakamları toplamı: 50 \cdot A
Adım 2 — Toplamın Genel Rakamları Toplamını (S) Bulma
Tüm bu sayıların rakamlarının genel toplamını A parantezine alarak hesaplayalım:
S = A \cdot (1 + 2 + 3 + \dots + 50)
1 + 2 + 3 + \dots + 50 = \frac{50 \cdot 51}{2} = 25 \cdot 51 = 1275
S = 1275 \cdot A
Adım 3 — 1275 Sayısının 9 ile Bölümünden Kalanını Bulma
1275 sayısının 9 ile bölümünden kalanını bulmak için kendi rakamlarını toplayalım:
1 + 2 + 7 + 5 = 15
15’in 9 ile bölümünden kalan:
15 \equiv 6 \pmod 9
Bu durumda ifademiz şu denkliğe dönüşür:
S \equiv 6 \cdot A \pmod 9
Adım 4 — Kalanın 3 Olmasını Sağlayan A Rakamlarını Belirleme
Toplamın 9 ile bölümünden kalanın 3 olduğu verilmiştir:
6 \cdot A \equiv 3 \pmod 9
A sıfırdan farklı bir rakam (A \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}) olduğuna göre olası değerleri deneyelim:
- A = 1 \implies 6 \cdot 1 = 6 \equiv 6 \pmod 9
- A = 2 \implies 6 \cdot 2 = 12 \equiv 3 \pmod 9 (Sağlar
) - A = 3 \implies 6 \cdot 3 = 18 \equiv 0 \pmod 9
- A = 4 \implies 6 \cdot 4 = 24 \equiv 6 \pmod 9
- A = 5 \implies 6 \cdot 5 = 30 \equiv 3 \pmod 9 (Sağlar )
- A = 6 \implies 6 \cdot 6 = 36 \equiv 0 \pmod 9
- A = 7 \implies 6 \cdot 7 = 42 \equiv 6 \pmod 9
- A = 8 \implies 6 \cdot 8 = 48 \equiv 3 \pmod 9 (Sağlar )
- A = 9 \implies 6 \cdot 9 = 54 \equiv 0 \pmod 9
A’nın alabileceği değerler: 2, 5, 8
Adım 5 — Değerlerin Toplamını Hesaplama
\text{Toplam} = 2 + 5 + 8 = 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bölünebilme Kalan Aritmetiği: Bir sayının modüler aritmetikteki kalanı, o sayının çarpanlarının kalanlarının çarpımına eşittir (1275 \cdot A \pmod 9 \equiv (1275 \pmod 9) \cdot A).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sayıları basamak çözümlemesi (A + 11A + 111A + \dots) ile açmaya çalışarak karmaşık denklemlerle vakit kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: 9 ile bölünebilmede doğrudan “rakamlar toplamı” kuralını tüm terimler için toplu halde uygulamak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?