a pozitif sayı olmak üzere,
f(x) = x^2 - 2ax - 1
fonksiyonunun ekstremum değeri -5 olduğuna göre, a kaçtır?
A) \frac{1}{2}
B) 1
C) 2
D) 4
E) 6
Türev Yardımıyla İkinci Dereceden Fonksiyonlarda Ekstremum Değeri Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarında birinci türevi sıfıra eşittir (f'(x) = 0). Ekstremum noktasının apsisi fonksiyonda yerine yazıldığında elde edilen görüntü (f(x_{ekstremum})) fonksiyonun ekstremum değerini verir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ekstremum noktasının apsisini bulma:
Verilen f(x) = x^2 - 2ax - 1 fonksiyonunun x’e göre birinci türevini alıp sıfıra eşitleyelim:
f'(x) = 2x - 2a = 0 \implies x = a
Adım 2 — Ekstremum değerini kullanarak a sayısını hesaplama:
Fonksiyonun ekstremum değeri -5 olarak verildiğinden f(a) = -5 olmalıdır:
f(a) = a^2 - 2a \cdot a - 1 = -5
-a^2 - 1 = -5 \implies -a^2 = -4 \implies a^2 = 4
Soruda a’nın pozitif bir sayı olduğu belirtildiği için:
a = 2
CEVAP: C) 2 (a = 2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İkinci dereceden fonksiyonlar (paraboller) için ekstremum noktası tepe noktasıdır (T(r, k)). Türev almadan doğrudan tepe noktası formülü olan r = -\frac{b}{2a_{katsayı}} = \frac{2a}{2} = a ve k = f(r) = -5 eşitliğiyle de aynı sonuca pratikçe ulaşabilirsiniz.