A pozitif gerçel sayısının değeri
21
z1
sayılarından hangileri ile çarpıldıiğında artar?
A) Yalnızy
B) Yalnızz
C) x ve z
D) y ve z
E) x ve y
A Pozitif Gerçel Sayısının Değerini Artıran Çarpanların Belirlenmesi
KULLANILAN KURAL:
Pozitif bir A sayısı (A > 0) bir k sayısı ile çarpıldığında:
- k > 1 ise çarpımın değeri artar (A \cdot k > A).
- k = 1 ise çarpımın değeri değişmez (A \cdot 1 = A).
- 0 < k < 1 ise çarpımın değeri azalır (A \cdot k < A).
Bu nedenle, A sayısının değerinin artması için çarpılan sayının 1’den büyük olması gerekir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — x Değerinin Hesaplanması ve İncelenmesi
x = \frac{2}{3}
- \frac{2}{3} < 1 olduğundan, A sayısı x ile çarpıldığında değeri azalır.
Adım 2 — y Değerinin Hesaplanması ve İncelenmesi
y = \frac{2}{3} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1
- y = 1 olduğundan, A sayısı y ile çarpıldığında değeri değişmez.
Adım 3 — z Değerinin Hesaplanması ve İncelenmesi
z = \frac{3}{2} \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4} = 2{,}25
- \frac{9}{4} > 1 olduğundan, A sayısı z ile çarpıldığında değeri artar.
Adım 4 — Seçenek Karşılaştırması
A. Yalnız y — y = 1 olduğu için değeri değiştirmez.
B. Yalnız z — Sadece z > 1 koşulunu sağladığı için değeri artırır.
C. x ve z — x < 1 olduğu için değeri azaltır.
D. y ve z — y = 1 olduğu için değeri artırmaz.
E. x ve y — Her iki sayı da 1’den büyük değildir.
Adım 5 — Son Doğrulama
Yalnızca z = \frac{9}{4} > 1 olduğundan dolayı pozitif A sayısının değerini artıran tek çarpan z’dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) Yalnız z
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Basit ve Bileşik Kesirler ile Çarpma
- Tanım: Payı paydasından küçük olan pozitif basit kesirler 1’den küçüktür; payı paydasına eşit olan kesirler 1’e, payı paydasından büyük olan bileşik kesirler ise 1’den büyüktür.
- Bu problemde: x basit kesir olduğu için sayıyı küçültmüş, y birim (1) olduğu için etkisiz kalmış, z ise bileşik kesir olduğu için sayıyı büyütmüştür.
SIK YAPILAN HATALAR:
y ifadesini 1’den büyük zannetmek
- Yanlış: Parantez içindeki (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} ifadesini görüp doğrudan sayının büyüyeceğini düşünmek.
- Doğru: Baştaki \frac{2}{3} katsayısı ile parantez sonucunu çarpıp tam değeri (1) bulmak.
- Neden yanlış: Çarpanların sadeleşmesi sonucu y değeri tam olarak 1 gelir ve 1 ile çarpım değeri artırmaz.
Benzer rasyonel sayı ve eşitsizlik sorularıyla pratik yapmaya devam etmek ister misin?