a pozitif bir tam sayı olmak üzere
K = [\sqrt{10}, 2\sqrt{a}]
L = [3\sqrt{2}, 4\sqrt{6}]
kapalı aralıkları veriliyor.
L çap K kümesinde bir tane tam sayı bulunduğuna göre a sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Kümelerde Kesişim ve Tümleyen ile Aralık Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir K kümesinin tümleyeni K', evrensel kümede bulunup K’de bulunmayan elemanların kümesidir. İki aralığın kesişimindeki tam sayıları bulmak için aralıkların sınır değerlerinin yaklaşık karekök karşılıkları belirlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — L Kümesindeki Tam Sayıları Belirleme
L = [3\sqrt{2}, 4\sqrt{6}] kapalı aralığının uç değerlerini kök içine alarak yaklaşık değerlerini hesaplayalım:
- 3\sqrt{2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18} \approx 4{,}24
- 4\sqrt{6} = \sqrt{16 \cdot 6} = \sqrt{96} \approx 9{,}79
Buradan L aralığında yer alan tam sayılar:
\{5, 6, 7, 8, 9\}
Adım 2 — K' Kümesini ve L \cap K' Kesişimini İnceleme
K = [\sqrt{10}, 2\sqrt{a}] aralığının tümleyeni reel sayılarda:
K' = (-\infty, \sqrt{10}) \cup (2\sqrt{a}, \infty)
\sqrt{10} \approx 3{,}16 olduğundan L kümesindeki hiçbir tam sayı (5, 6, 7, 8, 9) \sqrt{10}'dan küçük değildir. Dolayısıyla (-\infty, \sqrt{10}) \cap L = \emptyset olur.
Bu durumda L \cap K' kümesi yalnızca (2\sqrt{a}, \infty) \cap L aralığından oluşur.
Adım 3 — Koşula Uygun a Tam Sayılarını Bulma
L \cap K' kümesinde yalnızca bir tane tam sayı bulunması istendiğinden, L’deki en büyük tam sayı olan 9 bu kümede yer almalı, ancak 8 yer almamalıdır. Yani 2\sqrt{a} sınır değeri 8 ile 9 arasında olmalıdır:
8 \le 2\sqrt{a} < 9
Her tarafın karesini alalım:
64 \le 4a < 81
Tüm terimleri 4’e bölelim:
16 \le a < 20{,}25
a pozitif bir tam sayı olduğuna göre alabileceği değerler:
a \in \{16, 17, 18, 19, 20\}
Bu koşulu sağlayan 20 - 16 + 1 = 5 farklı a tam sayısı vardır.
CEVAP: B) 5 (a \in \{16, 17, 18, 19, 20\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Aralığın sağ ucu açık olduğundan ((2\sqrt{a}, \infty)), sınır değeri 8’e eşit olduğunda (2\sqrt{a} = 8) 8 sayısı aralığa dahil edilmez ve tek tam sayı olarak yalnızca 9 kalır. Bu nedenle 8 \le 2\sqrt{a} tarafında eşitlik alınırken, 9 aralığa dahil olabilsin diye 2\sqrt{a} < 9 tarafında kesin küçüklük kullanılır.