a pozitif bir gerçek sayı olmak üzere
(x^2 + \frac{a}{x})^8
ifadesinin açılımındaki x^{-2} li terimin katsayısı, x^4 lü terimin katsayısının 10 katıdır.
Buna göre a kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
Binom Açılımında Belirli Terimin Katsayısını Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: (x + y)^n ifadesinin binom açılımındaki genel terim formülü T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} y^r bağıntısı ile hesaplanır. İstenen x üssünü elde etmek için r değeri belirlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Genel Terim İfadesinin Yazılması
(x^2 + \frac{a}{x})^8 ifadesinin açılımındaki genel terimi kurala göre düzenleyelim:
T_{r+1} = \binom{8}{r} (x^2)^{8-r} \cdot \left(\frac{a}{x}\right)^r = \binom{8}{r} a^r \cdot x^{16 - 2r} \cdot x^{-r} = \binom{8}{r} a^r \cdot x^{16 - 3r}
Adım 2 — x^{-2} ve x^4 lü Terimlerin Katsayılarının Hesaplanması
-
x^{-2} li terim için:
16 - 3r = -2 \implies 3r = 18 \implies r = 6\text{Katsayı } (C_{-2}) = \binom{8}{6} a^6 = \binom{8}{2} a^6 = 28a^6 -
x^4 lü terim için:
16 - 3r = 4 \implies 3r = 12 \implies r = 4\text{Katsayı } (C_4) = \binom{8}{4} a^4 = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} a^4 = 70a^4
Adım 3 — Katsayılar Arasındaki Eşitliğin Kurulması
Soruda verilen C_{-2} = 10 \cdot C_4 bağıntısını yerine yazalım:
28a^6 = 10 \cdot 70a^4
28a^6 = 700a^4
a pozitif bir gerçek sayı olduğundan her iki tarafı 28a^4 ile sadeleştirelim:
a^2 = \frac{700}{28} = 25 \implies a = 5
CEVAP: B) 5 (a = 5)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Paydadaki değişkenin üssünü negatif kuvvet (x^{-1}) olarak yazmak, üslerin toplanmasını kolaylaştırarak işlem hatasını önler.