a ve b birbirinden farklı gerçel sayılar olmak üzere,
\triangle a oplus\triangle b = \log_{2} a + \log_{2} b
olarak tanımlanıyor.
(\triangle a oplus\triangle b) dot (\triangle a ominus\triangle b) = \log_{2} a dot\log_{2} b
Buna göre, a \frac{\sqrt{5}-1}{2}'nin eşiti aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) b
B) b^2
C) 2b
D) 3b^2
E) b^3
Logaritma ve Özel Tanımlı İşlemler
KULLANILAN FORMÜLLER / KURALLAR:
- İki kare farkı özdeşliği: (x + y)(x - y) = x^2 - y^2
- Taban değiştirme kuralı: \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a
- Üslü ifade kuralı: (b^m)^n = b^{m \cdot n}
- İkinci dereceden denklem çözümü: k^2 - k - 1 = 0 \implies k = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İşlemleri Cebirsel Olarak İfade Etme
Kolaylık sağlaması açısından \log_2 a = x ve \log_2 b = y değişken dönüşümünü uygulayalım. Verilen eşitliği bu değişkenlerle yazalım:
(\log_2 a + \log_2 b) \cdot (\log_2 a - \log_2 b) = \log_2 a \cdot \log_2 b
(x + y)(x - y) = x \cdot y
x^2 - y^2 = xy
Adım 2 — Değişkenler Arasındaki Oranı Bulma
a \neq b olduğundan y \neq 0’dır. Eşitliğin her iki tarafını y^2’ye bölerek tek değişkene bağlı bir denklem elde edelim:
\frac{x^2}{y^2} - \frac{xy}{y^2} - \frac{y^2}{y^2} = 0
\left(\frac{x}{y}\right)^2 - \left(\frac{x}{y}\right) - 1 = 0
\frac{x}{y} = k dönüşümü yapıldığında k^2 - k - 1 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir. Diskriminant (\Delta) yöntemiyle kökleri bulalım:
\Delta = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5
k = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
Adım 3 — a ve b Arasındaki Üstel İlişkiyi Kurma
\frac{x}{y} = \frac{\log_2 a}{\log_2 b} = \log_b a = k olduğundan:
a = b^k
Pozitif kök olan k = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} değerini seçtiğimizde:
a = b^{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}}
Adım 4 — İstenen İfadenin Hesaplanması
Bizden istenen a^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} ifadesinde a yerine b^{\frac{\sqrt{5}+1}{2}} yazalım:
a^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}} = \left(b^{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}\right)^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}
= b^{\left(\frac{\sqrt{5}+1}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}
= b^{\frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{4}} = b^{\frac{5 - 1}{4}} = b^{\frac{4}{4}} = b^1 = b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A — b
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Taban Değiştirme Kuralı: \frac{\log_2 a}{\log_2 b} = \log_b a geçişi yapılarak logaritmik ifadeler a = b^k şeklinde üstel biçime kolayca dönüştürülür.
- Eşlenik Çarpımı: (\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}-1) = 5 - 1 = 4 bağıntısı yardımıyla üs tam sayıya sadeleşir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: \log_2 a + \log_2 b = \log_2(ab) ve \log_2 a - \log_2 b = \log_2\left(\frac{a}{b}\right) özelliklerini doğrudan çarpmaya çalışmak işlemi karmaşıklaştırır.- Doğru Yaklaşım: İki kare farkını kullanarak \log_2^2 a - \log_2^2 b = \log_2 a \cdot \log_2 b denklemini elde edip değişken değiştirme yöntemiyle çözüme gitmek en pratik yoldur.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir logaritmik denklem pekiştirme sorusu çözmek ister misin?