Aşağıda verilen navigasyon ekranında mavi renk gidilen yolu, siyah renk kalan yolu göstermektedir.
A noktasından harekete başlayan araç (x + 10) km yol alıp durduğunda, B noktası kalan yolun tam ortasındadır. Araç harekete başlayıp aldığı yol kadar daha yol aldığında tüm yolun tam ortasına gelmiştir.
Bu araç, 35 km daha yol aldığında B noktasına geldiğine göre, tüm yol kaç km’dir?
A) 280
B) 290
C) 300
D) 310
E) 320
Navigasyon Yol Problemi Çözümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \text{Tüm Yol} = \text{Gidilen Yol} + \text{Kalan Yol}
- Bir noktanın diğerine uzaklığı ve orta nokta bağıntıları doğrusal orantı ile adım adım modellenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Yolun Tamamını ve Orta Noktayı Modelleme
Araç ilk olarak (x + 10)\text{ km} yol almıştır. Metinde belirtildiği üzere, aldığı bu yol kadar daha yol gittiğinde tüm yolun tam ortasına ulaştığı ifade edilmektedir:
\text{Yolun Yarısı} = (x + 10) + (x + 10) = 2(x + 10)\text{ km}
Buradan tüm yolun uzunluğu:
\text{Tüm Yol} = 2 \times 2(x + 10) = 4(x + 10)\text{ km}
Adım 2 — B Noktasının Başlangıca (A) Olan Uzaklığını Bulma
İlk durumda araç (x + 10)\text{ km} gittiğinde durmuştu. Bu andaki kalan yol:
\text{Kalan Yol} = 4(x + 10) - (x + 10) = 3(x + 10)\text{ km}
B noktası bu kalan yolun tam ortasında olduğuna göre, aracın durduğu yerden B noktasına olan mesafe:
\frac{3(x + 10)}{2}\text{ km}
Dolayısıyla A noktasından B noktasına olan toplam mesafe:
|AB| = (x + 10) + \frac{3(x + 10)}{2} = \frac{5(x + 10)}{2}\text{ km}
Adım 3 — Verilen Ek Bilgi ile Denklemi Kurma ve Çözme
Yolun yarısına gelen araç (2(x + 10)\text{ km} konumunda iken), 35\text{ km} daha ilerlediğinde B noktasına varmaktadır. Buradan B noktasının konumu:
|AB| = 2(x + 10) + 35\text{ km}
İki farklı şekilde ifade ettiğimiz |AB| uzunluklarını birbirine eşitleyelim:
\frac{5(x + 10)}{2} = 2(x + 10) + 35
Denklemi çözelim:
\frac{5}{2}(x + 10) - 2(x + 10) = 35
\frac{1}{2}(x + 10) = 35
x + 10 = 70\text{ km}
Adım 4 — Tüm Yolun Uzunluğunu Hesaplama
Tüm yolun 4(x + 10) olduğunu Adım 1’de belirlemiştik:
\text{Tüm Yol} = 4 \times 70 = 280\text{ km}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) 280
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Orta Nokta Bağıntısı: Bir doğru parçasının orta noktası, parçayı iki eşit uzunluğa böler. Bu soruda kalan yolun ortası ile tüm yolun ortası kavramları birbirinden dikkatle ayırt edilmelidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: “35\text{ km} daha yol aldığında” ifadesini ilk durduğu andan itibaren alıp kalan yolu 2 \times 35 = 70\text{ km} kabul etmek.- Doğru Yaklaşım: İfadenin akışına göre aracın yolun tam ortasına geldikten sonra 35\text{ km} daha giderek B’ye ulaştığını fark edip denklemi kurmak.
Bu soru tarzını pekiştirmek için benzer bir hareket ve oran-orantı problemi çözmek ister misin?