Doğrusal Hareket Problemi Çözümü
Önemli Noktalar
- f ve g fonksiyonları araçlar arasındaki mesafenin zamana göre değişimini gösteriyor
- B aracının hızı 40 km/saat olarak verilmiş ve B’nin hızı A’nın hızından daha az
- Grafikte mesafe y ekseninde km cinsinden değil, 100 km cinsinden ifade edilmiş
- Soruda, araçların hızları ve aralarındaki mesafe hesaplanacak
f ve g fonksiyonları, araçların zamana bağlı olarak aralarındaki mesafe farkını göstermekte olup, saat cinsinden zamana karşı mesafe (x100 km) değerleri verilmiştir. B noktasındaki aracın hızı 40 km/saat olduğuna göre, f ve g eğimlerinden yararlanarak A aracının hızını ve A-B arası mesafeyi hesaplayabiliriz.
İçindekiler
1. Aracın Saatteki Hızının Hesaplanması
Grafikte saat cinsinden t ekseni ve y ekseninde mesafe (x 100 km) belirtilmiş.
B noktasından hareket eden aracın hızı 40 km/saat ve bu aracın (g fonksiyonu) eğimi f fonksiyonunun eğiminden daha küçüktür.
- g fonksiyonu 0-6 saat arasında 0’dan 3 (x100 km) birime kitlesiz olarak azalmış.
- g fonksiyonunun eğimi (hız) = mesafe farkı / zaman = (0 - 3*100) / (6 - 0) = -300 / 6 = -50 km/saat (daha yüksek hız)
Ancak bize verilen bilgiye göre B aracının hızı 40 km/saat olduğundan bu eğim 40 km/saat olarak uyarlanıyor.
Buradan, g fonksiyonunun eğiminin 40 km/saat olduğunu biliyoruz. Grafikte 3 birim düşüşü 6 saatte gerçekleşiyor, yani düşüş = 3 birim * 100 km = 300 km
Demek ki, birim değişikliği var. g fonksiyonunun eğimini gerçek hız cinsine çevirmek için:
- Gerçek eğim = 300 km / 6 saat = 50 km/saat
Ama verilene göre bu araç 40 km/saat hızla hareket ediyor. Bu demek ki hızlar grafik çizimine göre ölçeklendirilmiş ve B aracı daha yavaş hareket ediyor.
A aracının hızı (f fonksiyonunun eğimi) ne kadar?
f fonksiyonu 0-3 saat aralığında mesafeyi 3 birim azaltıyor.
- 3 birim * 100 km = 300 km
- 3 saat sonunda 300 km mesafe azalması
Buna göre:
A aracının hızı = 300 km / 3 saat = 100 km/saat
Ama dikkat! Soruda “B noktasından hareket eden aracın hızı A’ya göre daha az” denmekte.
Buradaki hızlar mesafe arasındaki azalmadır. Araçlar sabit hızla hareket ediyor. Eğer araçlar birbirine yaklaşıyorsa, hızların farkı mesafedeki değişime eşittir.
B aracının hızı: 40 km/saat
A aracının hızı: ?
f(t) ve g(t) fonksiyonlarının eğimi (azalma oranı) araçların hız farkına bağlıdır.
Formüle geçersek:
f(t): iki araç zıt yöne hareket ediyor → f(t) = (initial distance) - (v_A + v_B)*t
g(t): iki araç aynı yöne hareket ediyor → g(t) = (initial distance) - |v_A - v_B| * t
Grafikten:
- f fonksiyonu 6 saatte 6 birim azalmış → 6 * 100 km = 600 km
- g fonksiyonu 6 saatte 3 birim azalmış → 300 km
(Verilen grafikle tam tutarlılık için başlangıçta baştaki mesafe bilinmeli, burada problemde detay yok ama yukarıdaki analiz yeterli.)
Buna göre:
- Saatte mesafe azalması f için: 600 km / 6 saat = 100 km/saat
- Saatte mesafe azalması g için: 300 km / 6 saat = 50 km/saat
g fonksiyonuna karşılık gelen araçlar aynı yönlü, hız farkı = 50 km/saat
B aracının hızı 40 km/saat ise, A aracı:
hız_A - 40 = 50 → hız_A = 90 km/saat
Cevap:
A aracının saatteki hızı 90 km/saat’tir.
2. A ve B Noktaları Arasındaki Uzaklığın Hesaplanması
A ve B noktaları arasındaki ilk mesafe, araçlar birbirine yaklaştıkça f veya g fonksiyonlarının başlangıç noktasındaki mesafedir.
Grafikte, t=0 için y değeri A-B arası mesafeyi verir. Grafiklerin başlangıç noktası (t=0) y=6 olarak gözüküyor. Yani:
Başlangıç mesafesi = 6 * 100 km = 600 km
Cevap:
A ve B noktaları arasındaki uzaklık 600 kilometredir.
Özet Tablo
| Element | Detay |
|---|---|
| A aracının hızı | 90 km/saat |
| B aracının hızı | 40 km/saat |
| A-B arası mesafe (başlangıçta) | 600 km |
Sık Sorulan Sorular
1. f ve g fonksiyonları neyi gösterir?
Araçların uzaklıklarının zamana bağlı değişimini modelleyen iki farklı durumu gösterir; f zıt yönlü hareketi, g ise aynı yönlü hareketi temsil eder.
2. Neden y eksenindeki değerler 100 km ile çarpılır?
Grafikte mesafe birimleri yüzle çarpılarak verilmiş, bu grafik ölçeklendirme amaçlıdır ve gerçek mesafe hesaplarında dikkate alınmalıdır.
3. Araçların hızları nasıl hesaplanır?
Eğim (değişim oranı) hız anlamına gelir; grafik üzerinden zaman ve mesafe farkları kullanılarak hız bulunur.
Sonraki Adımlar
Aracın hızları ve mesafe değişimiyle ilgili benzer problemlerde, farklı başlangıç mesafeleri ve hız bilgilerine göre “kesişme zamanı” ve “arasındaki minimum mesafe” hesaplamalarını ister misiniz?
A noktasındaki aracın saatteki hızı ve A ile B noktaları arasındaki uzaklık nedir?
Öne Çıkan Noktalar
- İki araç arasındaki başlangıç uzaklığı y_0=4{,}8 birim, yani 480\text{ km}.
- B noktasından hareket eden aracın hızı 40\ \mathrm{km/sa}.
- A noktasındaki aracın hızı 120\ \mathrm{km/sa}.
İçindekiler
Çözüm Adımları
Grafikten başlangıçta iki araç arasındaki uzaklık
birim cinsinden okunur. Zıt yönde hareket eden araçların kapanma süresi 3\ \mathrm{sa}, aynı yönde ise 6\ \mathrm{sa} olarak verilmiştir.
- Gerçek uzaklık birimi dikkate alınır:
Grafikten birim =100\ \mathrm{km}. - Zıt yönde harekette göreli hızv_A+v_B=\frac{y_0\cdot100}{3}
- Aynı yönde harekette göreli hızv_A-v_B=\frac{y_0\cdot100}{6}
- B aracının hızı v_B=40\ \mathrm{km/sa} olarak verildiğine göre:
$$\begin{cases}
v_A+40=\frac{y_0\cdot100}{3},\
v_A-40=\frac{y_0\cdot100}{6}.
\end{cases}$$
İkincisinden birincisini çıkartırsak:
$$80=\frac{y_0\cdot100}{3}-\frac{y_0\cdot100}{6}
=\frac{y_0\cdot100}{6}
\ \Rightarrow\ y_0\cdot100=480
\ \Rightarrow\ y_0=4{,}8.$$ - v_A-40=\dfrac{480}{6}=80\ \Rightarrow\ v_A=120\ \mathrm{km/sa}.
Sonuç olarak:
- A aracının hızı: 120\ \mathrm{km/sa}.
- A ile B arası ilk uzaklık: 4{,}8\times100=480\ \mathrm{km}.
Karşılaştırmalı Tablo
| Hareket Türü | Göreli Hız \bigl(\mathrm{km/sa}\bigr) | Uzaklığın Sıfıra İniş Süresi |
|---|---|---|
| Zıt yönde (f) | v_A+v_B=120+40=160 | t=\tfrac{480}{160}=3\ \mathrm{sa} |
| Aynı yönde (g) | v_A-v_B=120-40=80 | t=\tfrac{480}{80}=6\ \mathrm{sa} |
Özet Tablosu
| Bileşen | Değer |
|---|---|
| v_A | 120\ \mathrm{km/sa} |
| v_B | 40\ \mathrm{km/sa} |
| Başlangıç Uzaklığı | 480\ \mathrm{km} |
SSS
S1. Grafikteki birim dönüşümü nasıl yapılır?
Cevap: Dikey eksende “$y,(×100\ \mathrm{km})$” yazıyor; yani her 1 birim 100 km’e eşittir.
S2. Zıt yönde harekette kapanma hızı nasıl bulunur?
Cevap: İki aracın hızları toplanır: v_A+v_B.
S3. Aynı yönde harekette kapanma hızı nasıl bulunur?
Cevap: Büyük hızdan küçük hız çıkarılır: |v_A-v_B|.
S4. Grafikten zaman nasıl okunur?
Cevap: Birim zaman t\,(sa.) ekseninde 1 birim = 1 saat.
Anlayışınızı pekiştirmek için benzer bir zıt-yönde hareket sorusu çözmek ister misiniz?
@Fatma75