a neq 1 olmak üzere a , u ve v pozitif gerçek sayılar olmak üzere küçükten büyüğe sıralanmış aşağıdaki sayılar ardışık çift sayılardır.
| Artan Sıralı Üçlü |
|1— |
| \log_{a} u, \log_{a} v, \log_{a} (3u + v) |
Buna göre \log_{a} (4a^2 + 3) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Logaritma Özellikleri ve Ardışık Sayı Bağıntıları
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ardışık çift sayılar arasındaki fark 2’dir. Tabanları aynı olan logaritmaların farkı \log_a x - \log_a y = \log_a\left(\frac{x}{y}\right) kuralı ile bölüme dönüştürülür ve \log_a b = c \iff b = a^c eşitliği kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ardışık Terimler Arasındaki Farkı Belirleme
Verilen \log_a u, \log_a v ve \log_a(3u + v) sayıları küçükten büyüğe ardışık çift sayılar olduğundan aralarındaki fark 2’dir:
\log_a v - \log_a u = 2 \implies \log_a\left(\frac{v}{u}\right) = 2 \implies \frac{v}{u} = a^2 \implies v = u \cdot a^2
Adım 2 — Üçüncü Terim ile Bağıntı Kurma
Üçüncü terim ile birinci terim arasındaki fark ardışık iki çift sayı adımı kadar, yani 4 birimdir:
\log_a(3u + v) - \log_a u = 4 \implies \log_a\left(\frac{3u + v}{u}\right) = 4
\frac{3u + v}{u} = 3 + \frac{v}{u} = a^4
Adım 3 — a Cinsinden Polinom Eşitliğini Elde Etme
\frac{v}{u} = a^2 değerini denklemde yerine yazalım:
3 + a^2 = a^4 \implies a^4 = a^2 + 3
Adım 4 — İstenen İfadenin Hesaplanması
Sorulan ifadede yer alan 4a^2 + 3 terimini a kuvveti olarak yazmak için a^4 = a^2 + 3 eşitliğinin her iki tarafını a^2 ile çarpalım:
a^6 = a^2 \cdot a^4 = a^2(a^2 + 3) = a^4 + 3a^2
Burada tekrar a^4 yerine a^2 + 3 yazarsak:
a^6 = (a^2 + 3) + 3a^2 = 4a^2 + 3
Bulunan değeri logaritmada yerine koyalım:
\log_a(4a^2 + 3) = \log_a(a^6) = 6
CEVAP: B) 6 (\log_a(4a^2 + 3) = 6)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Yüksek dereceli denklemlerde a’nın reel değerini köklü olarak bulmaya çalışmak yerine, indirgeme bağıntısı (a^4 = a^2 + 3) kurarak a^6’nın 4a^2 + 3’e eşit olduğunu görmek çözümü son derece pratikleştirir.