(a_{n}) = \frac{n^2 + 3n - a}{3n - 14} dizisinin tüm terimleri pozitif olduğuna göre, a’nın alabileceği kaç tam sayı değeri vardır?
Dizilerde Terimlerin İşareti ve Parametre Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Dizilerde sayma sayıları kümesi n \in \mathbb{Z}^+ = \{1, 2, 3, \dots\} tanımlıdır.
\frac{A}{B} > 0 \iff (A > 0 \text{ ve } B > 0) \quad \text{veya} \quad (A < 0 \text{ ve } B < 0)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Paydanın İşaretini İnceleme
Dizinin terimlerinin indisleri n = 1, 2, 3, \dots değerlerini alır. Paydanın (3n - 14) kökünü bularak hangi n değerleri için pozitif veya negatif olduğunu belirleyelim:
3n - 14 = 0 \implies n = \frac{14}{3} \approx 4{,}66
Buna göre:
- n \le 4 ise (n \in \{1, 2, 3, 4\} için) \implies 3n - 14 < 0 (Payda negatif)
- n \ge 5 ise (n \in \{5, 6, 7, \dots\} için) \implies 3n - 14 > 0 (Payda pozitif)
Adım 2 — Payın İşaret Durumlarını Belirleme
(a_n) dizisinin tüm terimlerinin pozitif (a_n > 0) olması için pay ve payda aynı işaretli olmalıdır:
-
n \le 4 durumu için (Payda negatif olduğu için Pay da negatif olmalı):
n^2 + 3n - a < 0 \implies a > n^2 + 3n- n = 1 \implies a > 1^2 + 3(1) = 4
- n = 2 \implies a > 2^2 + 3(2) = 10
- n = 3 \implies a > 3^2 + 3(3) = 18
- n = 4 \implies a > 4^2 + 3(4) = 28
Bu dört koşulun hepsinin aynı anda sağlanması için a’nın en büyük değerden büyük olması gerekir:
a > 28 -
n \ge 5 durumu için (Payda pozitif olduğu için Pay da pozitif olmalı):
n^2 + 3n - a > 0 \implies a < n^2 + 3n- n = 5 \implies a < 5^2 + 3(5) = 40
- n = 6 \implies a < 6^2 + 3(6) = 54
- n \ge 5 için f(n) = n^2 + 3n ifadesi daima artandır. Bu nedenle tüm n \ge 5 terimleri için eşitsizliğin sağlanması, en küçük değer olan n=5 için sağlanmasına bağlıdır:
a < 40
Adım 3 — a Değer Aralığı ve Terim Sayısını Bulma
Her iki durumun kesişim aralığı:
28 < a < 40
Bu aralıktaki a tam sayıları:
a \in \{29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39\}
Terim sayısı formülü ile:
\text{Terim Sayısı} = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1
\text{Terim Sayısı} = 39 - 29 + 1 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 11 tane tam sayı değeri vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Dizi Tanım Kümesi: Dizilerde indis daima pozitif tam sayı (n \in \{1, 2, 3, \dots\}) olmak zorundadır; bu yüzden reel sayılardaki gibi sürekli aralıklar yerine tek tek doğal sayı değerleri incelenir.
- Kritik Değer Analizi: Paydanın işaret değiştirdiği sınır indisi (n=4 ve n=5), parametrenin alt ve üst sınırlarını belirler.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Yalnızca payın diskriminantına (\Delta < 0) bakmak. (Bu dizide payda tek bir işaret taşımadığı için pay da tüm terimlerde aynı işaretli kalamaz).- Doğru Yaklaşım: Paydanın pozitif ve negatif olduğu n bölgelerini ayrı ayrı ele alıp payın işaretini buna göre eşleştirmek.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?