A KUMBARASI’nda 37 TL ve B KUMBARASI’nda 39 TL bulunmaktadır.
Yukarıda verilen her iki kumbaraya TL cinsinden doğal sayı olmak üzere eşit miktarda para atıldığında kumbaralardaki paraların sayısal karşılıkları aralarında asal olmaktadır.
Buna göre her iki kumbaraya atılan toplam para miktarı en az kaç TL’dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
Kumbaralardaki Paraların Aralarında Asal Olması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki doğal sayının farkı d ise, bu iki sayının en büyük ortak böleni (\text{EBOB}) d’nin bir böleni olmak zorundadır:
\text{EBOB}(a, b) \mid |a - b|
- Farkları 2 olan iki sayının \text{EBOB}'u yalnızca 1 veya 2 olabilir.
- Bu sayıların aralarında asal (\text{EBOB} = 1) olabilmesi için her ikisinin de tek sayı olması gerekir. İki çift sayının ortak böleni en az 2 olacağından aralarında asal olamazlar.
ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:
Her bir kumbaraya atılan para miktarına x\text{ TL} diyelim. Toplam atılan para miktarı 2x\text{ TL} olur.
Yeni para miktarları:
- A Kumbarası: 37 + x
- B Kumbarası: 39 + x
Bu iki sayının farkı:
(39 + x) - (37 + x) = 2
Fark 2 olduğundan:
- x tek sayı olursa; 37 + x ve 39 + x sayıları çift olur, \text{EBOB} = 2 çıkar ve sayılar aralarında asal olamaz.
- x çift sayı olursa; 37 + x ve 39 + x sayıları tek olur, \text{EBOB} = 1 çıkar ve sayılar aralarında asal olur.
Seçenekleri toplam atılan para miktarı (2x) üzerinden inceleyelim:
-
A) 6 TL:
2x = 6 \implies x = 3\text{ TL} (tek sayı).
37 + 3 = 40 ve 39 + 3 = 42 olur. İkisi de çift olduğu için 2’ye bölünürler, aralarında asal değildir. -
B) 8 TL:
2x = 8 \implies x = 4\text{ TL} (çift sayı).
37 + 4 = 41 ve 39 + 4 = 43 olur. 41 ve 43 ardışık iki tek sayıdır ve \text{EBOB}(41, 43) = 1’dir. Dolayısıyla aralarında asaldır. -
C) 10 TL:
2x = 10 \implies x = 5\text{ TL} (tek sayı).
37 + 5 = 42 ve 39 + 5 = 44 olur. İkisi de çift olduğu için aralarında asal değildir. -
D) 12 TL:
2x = 12 \implies x = 6\text{ TL} (çift sayı).
37 + 6 = 43 ve 39 + 6 = 45 aralarında asaldır ancak soru en az miktarı istediği için 8\text{ TL} varken en küçük değer olamaz.
Sonuç ve Doğrulama:
Kumbaralardaki paraların aralarında asal olması için kumbaralara atılan paranın çift sayı olması gerekir. Seçeneklerdeki en küçük uygun değer her bir kumbaraya 4\text{ TL} olmak üzere toplam 8\text{ TL}'dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aralarında Asal Sayılar: 1’den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılardır.
- Ardışık Tek Sayılar: Aralarındaki fark 2 olan ardışık tek sayılar daima aralarında asaldır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Kumbaralara 1\text{ TL} veya 3\text{ TL} ekleyip sayıların tek tek asal olup olmadığına bakmak (sayıların kendisinin asal sayı olmasına gerek yoktur, sadece ortak bölenlerinin olmaması yeterlidir).- Doğru Yaklaşım: Çift sayıların ortak böleninin en az 2 olduğunu hatırlayarak toplamların tek sayı olmasını sağlayacak çift x değerlerine odaklanmak.
Aralarında asallık veya EBOB-EKOK özellikleri ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber 6. sınıf olarak çöz
Kumbaradaki Paraların Aralarında Asal Olması (6. Sınıf Seviyesi)
KULLANILAN KURAL:
- Aralarında Asal Sayılar: 1 sayısından başka hiçbir ortak böleni olmayan sayılardır.
- İki çift sayının her ikisi de mutlaka 2’ye bölündüğü için çift sayılar aralarında asal olamaz.
ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:
Soruda her iki kumbaraya da eşit miktarda para atıldığı ve seçeneklerde toplam atılan para miktarının sorulduğu belirtilmiştir.
Bu yüzden her bir kumbaraya atılan parayı bulmak için seçenekleri 2’ye böleriz, ardından kumbaralardaki paralarla toplayıp ortak bölenlerini kontrol ederiz:
-
A) Toplam 6 TL atılırsa:
- Her kumbaraya: 6 \div 2 = 3\text{ TL} atılır.
- A Kumbarası: 37 + 3 = 40\text{ TL}
- B Kumbarası: 39 + 3 = 42\text{ TL}
- 40 ve 42 çift sayılardır ve ikisi de 2’ye bölünür. Ortak bölenleri 1’den farklı olduğu için aralarında asal değildir.
-
B) Toplam 8 TL atılırsa:
- Her kumbaraya: 8 \div 2 = 4\text{ TL} atılır.
- A Kumbarası: 37 + 4 = 41\text{ TL}
- B Kumbarası: 39 + 4 = 43\text{ TL}
- 41 ve 43 sayılarının 1’den başka ortak böleni yoktur. Bu sayılar aralarında asaldır.
-
C) Toplam 10 TL atılırsa:
- Her kumbaraya: 10 \div 2 = 5\text{ TL} atılır.
- A Kumbarası: 37 + 5 = 42\text{ TL}
- B Kumbarası: 39 + 5 = 44\text{ TL}
- İkisi de çift sayıdır (2’ye bölünür), aralarında asal değildir.
-
D) Toplam 12 TL atılırsa:
- Her kumbaraya: 12 \div 2 = 6\text{ TL} atılır.
- A Kumbarası: 37 + 6 = 43\text{ TL}
- B Kumbarası: 39 + 6 = 45\text{ TL}
- Aralarında asaldır ancak bizden en az miktar istendiği için 8\text{ TL} varken cevap bu olamaz.
Özet:
En küçük toplam miktar sorulduğu için doğru cevap 8\text{ TL}'dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Bölen: İki sayıyı da kalansız bölebilen sayılara denir.
- Aralarında Asallık: Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez; önemli olan ikisinin aynı anda 1’den başka bir sayıya bölünmemesidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Seçeneklerdeki sayıları direkt kumbaralara eklemek. (Unutma: Seçeneklerdeki miktar iki kumbaranın toplamıdır, bu yüzden önce 2’ye bölmeliyiz.)
- Doğru Yaklaşım: Seçenekleri ikiye bölüp her kumbaraya eklemek ve çıkan sayıların ortak böleni olup olmadığını incelemek.
Ortak bölenler ve aralarında asal sayılarla ilgili başka bir örnek çözmek ister misin?