A kumbarasında 31 TL, B kumbarasında 13 TL vardır.
Yukarıda verilen her iki kumbaraya TL cinsinden doğal sayı olmak üzere eşit miktarda para atıldığında kumbaralardaki paraların sayısal karşılıkları aralarında asal olmaktadır.
Buna göre her iki kumbaraya atılan toplam para miktarı en az kaç TL’dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
Kumbaralardaki Paraların Aralarında Asal Olması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki sayının aralarında asal olması, 1’den başka pozitif ortak bölenlerinin olmaması anlamına gelir:
\text{EBOB}(A, B) = 1
- İki sayı arasındaki fark sabit ise, bu iki sayının ortak böleni aralarındaki farkın da bir böleni olmak zorundadır:
\text{EBOB}(a+x, b+x) \mid (a - b)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kumbaralara Eklenen Para Miktarını Belirleme
Her iki kumbaraya da eşit miktarda para atıldığından, atılan miktara x TL diyelim.
- A kumbarasındaki para: 31 + x
- B kumbarasındaki para: 13 + x
- Her iki kumbaraya atılan toplam para: x + x = 2x TL olur.
Bu iki sayının farkı sabittir:
(31 + x) - (13 + x) = 18
Dolayısıyla 31+x ve 13+x sayılarının 1’den büyük bir ortak böleni varsa, bu bölen mutlaka 18’in böleni (2 veya 3) olmalıdır.
Adım 2 — En Küçük x Doğal Sayısını Bulma
x değerlerini en küçük pozitif doğal sayıdan başlayarak inceleyelim:
-
x = 1 için:
- A kumbarası: 31 + 1 = 32\text{ TL}
- B kumbarası: 13 + 1 = 14\text{ TL}
- \text{EBOB}(32, 14) = 2 \neq 1 (Çift sayılar oldukları için aralarında asal değildir).
-
x = 2 için:
- A kumbarası: 31 + 2 = 33\text{ TL}
- B kumbarası: 13 + 2 = 15\text{ TL}
- \text{EBOB}(33, 15) = 3 \neq 1 (İkisi de 3’e bölünür, aralarında asal değildir).
-
x = 3 için:
- A kumbarası: 31 + 3 = 34\text{ TL}
- B kumbarası: 13 + 3 = 16\text{ TL}
- \text{EBOB}(34, 16) = 2 \neq 1 (Çift sayılar oldukları için aralarında asal değildir).
-
x = 4 için:
- A kumbarası: 31 + 4 = 35\text{ TL}
- B kumbarası: 13 + 4 = 17\text{ TL}
- 17 bir asal sayıdır ve 35’i bölmez. Dolayısıyla:
\text{EBOB}(35, 17) = 1Sayılar aralarında asaldır.
Adım 3 — Toplam Para Miktarını Hesaplama
Her bir kumbaraya en az x = 4\text{ TL} atılmalıdır.
\text{Toplam Atılan Para} = 4 + 4 = 8\text{ TL}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aralarında Asallık: İki sayının kendileri asal olmak zorunda değildir (örneğin 35 asal değildir); yalnızca 1 dışında ortak bölenlerinin bulunmaması yeterlidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Soru kökündeki “her iki kumbaraya atılan toplam para” ifadesini gözden kaçırıp yalnızca tek bir kumbaraya atılan 4\text{ TL}'yi aramak veya doğrudan şıklardaki sayıları tek bir kumbaraya eklemek.- Doğru Yaklaşım: Şıklarda verilen değerlerin her iki kumbaraya atılan toplam para (2x) olduğunu fark ederek her bir kumbaraya eklenen miktarın x olduğunu dikkate almak.
Bu konuyla ilgili aralarında asallık kurallarını pekiştirecek benzer bir soru çözmek ister misin?
Kumbaralardaki Paraların Aralarında Asal Olması Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Birden başka ortak pozitif tam sayı böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir:
\text{EBOB}(a, b) = 1
- Her iki kumbaraya atılan eşit miktardaki paraya x\text{ TL} (x \in \mathbb{N}^+) dersek, toplam atılan para miktarı 2x\text{ TL} olur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişkenleri Belirleme ve Yeni Durumları Yazma
Başlangıçta:
- A kumbarasında: 31\text{ TL}
- B kumbarasında: 13\text{ TL}
Her iki kumbaraya da x\text{ TL} eklendiğinde kumbaralardaki yeni para miktarları:
\text{A Kumbarası} = 31 + x
\text{B Kumbarası} = 13 + x
Toplam atılan para miktarı 2x olacağından, seçeneklerdeki değerler 2x’e eşittir. Toplam paranın en az olması için x’in en küçük pozitif tam sayı değerinden başlanarak incelenmesi gerekir:
-
x = 1 için (Toplam 2\text{ TL}):
\text{A} = 31 + 1 = 32
\text{B} = 13 + 1 = 14
\text{EBOB}(32, 14) = 2 \neq 1 (Aralarında asal değildir, her ikisi de 2’ye bölünür.) -
x = 2 için (Toplam 4\text{ TL}):
\text{A} = 31 + 2 = 33
\text{B} = 13 + 2 = 15
\text{EBOB}(33, 15) = 3 \neq 1 (Aralarında asal değildir, her ikisi de 3’e bölünür.) -
x = 3 için (Toplam 6\text{ TL} — A Seçeneği):
\text{A} = 31 + 3 = 34
\text{B} = 13 + 3 = 16
\text{EBOB}(34, 16) = 2 \neq 1 (Aralarında asal değildir, her ikisi de 2’ye bölünür.) -
x = 4 için (Toplam 8\text{ TL} — B Seçeneği):
\text{A} = 31 + 4 = 35
\text{B} = 13 + 4 = 17
17 bir asal sayıdır ve 35’i bölmez. Dolayısıyla:\text{EBOB}(35, 17) = 135 ve 17 sayıları aralarında asaldır.
Adım 2 — Toplam Para Miktarını Hesaplama
Kumbaralardaki paraların aralarında asal olmasını sağlayan en küçük x değeri 4’tür.
İki kumbaraya atılan toplam para:
2x = 2 \cdot 4 = 8\text{ TL}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aralarında Asallık: İki sayının aralarında asal olması için kendilerinin asal olması gerekmez; yalnızca 1’den başka ortak bölenlerinin olmaması yeterlidir (35 asal değildir ancak 17 ile aralarında asaldır).
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Soru kökündeki “toplam para miktarı” ifadesini gözden kaçırıp yalnızca tek bir kumbaraya atılan x = 4 değerini aramak veya x = 3 için sayıların tek/çift durumuna bakmadan doğrudan en küçük seçeneği işaretlemek.
- Doğru Yaklaşım: Her iki kumbaraya da para atıldığı için toplam paranın 2x olduğunu unutmamak ve bulunan x değerinde sayıların \text{EBOB}'unun 1 olduğunu doğrulamak.
Aralarında asal sayılar ve EBOB-EKOK konularıyla ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?
@Akademik_Rehber 6. sınıf olarak çöz
6. Sınıf Seviyesinde Kumbaradaki Paraların Aralarında Asal Olması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Aralarında Asal Sayılar: 1’den başka hiçbir ortak böleni (çarpanı) olmayan sayılardır.
- Her iki kumbaraya da eşit para atıldığı için, toplam para miktarını 2’ye bölerek bir kumbaraya atılan parayı buluruz:
\text{Bir Kumbaraya Atılan Para} = \text{Toplam Para} \div 2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Bizden en az toplam para istendiği için seçenekleri en küçükten başlayarak deneyelim:
Adım 1 — A Seçeneğini Deneyelim (Toplam 6\text{ TL})
- İki kumbaraya toplam 6\text{ TL} atılırsa, her birine:
6 \div 2 = 3\text{ TL atılır.}
- Kumbaralardaki yeni paralar:
- A kumbarası: 31 + 3 = 34\text{ TL}
- B kumbarası: 13 + 3 = 16\text{ TL}
- 34 ve 16 sayılarının ikisi de çift sayı olduğu için her ikisi de 2’ye kalansız bölünür. 1 dışında ortak bölenleri (2) olduğu için aralarında asal değildir.
Adım 2 — B Seçeneğini Deneyelim (Toplam 8\text{ TL})
- İki kumbaraya toplam 8\text{ TL} atılırsa, her birine:
8 \div 2 = 4\text{ TL atılır.}
- Kumbaralardaki yeni paralar:
- A kumbarası: 31 + 4 = 35\text{ TL}
- B kumbarası: 13 + 4 = 17\text{ TL}
- Bu iki sayının bölenlerine bakalım:
- 17’nin bölenleri: Yalnızca 1 ve 17 (çünkü 17 asal sayıdır).
- 35’in bölenleri: 1, 5, 7, 35
- Görüldüğü gibi iki sayının 1’den başka hiçbir ortak böleni yoktur. Bu nedenle 35 ile 17 aralarında asaldır.
En küçük seçenekten başladığımız için aradığımız en az toplam para miktarı 8\text{ TL}'dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Bölen: İki sayıyı da kalansız bölen sayılardır. İki sayının tek ortak böleni 1 ise bu sayılara “aralarında asal” denir.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Şıklardaki sayıları kumbaralara doğrudan eklemek.
- Doğru Yaklaşım: Soruda “toplam para” dendiği için şıktaki sayıyı iki kumbaraya eşit paylaştırmak (2’ye bölmek).
Ortak bölenler veya asal sayılarla ilgili benzer bir alıştırma sorusu çözmek ister misin?