A KUMBARASI 35 TL
B KUMBARASI 13 TL
Yukarıda verilen her iki kumbaraya TL cinsinden doğal sayı olmak üzere eşit miktarda para atıldığında kumbaralardaki paraların sayısal karşılıkları aralarında asal olmaktadır.
Buna göre her iki kumbaraya atılan toplam para miktarı en az kaç TL’dir?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
Kumbaralardaki Paraların Aralarında Asal Olması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- 1 dışında ortak pozitif böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir: \text{EBOB}(a, b) = 1
- Kumbaralara atılan para miktarı x\text{ TL} (doğal sayı) olsun. İki kumbaraya atılan toplam para miktarı: 2x
ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:
Her iki kumbaraya da eşit miktarda x\text{ TL} atıldığında oluşan para miktarları:
- A Kumbarası: 35 + x
- B Kumbarası: 13 + x
Toplam atılan para 2x olduğuna göre seçeneklerde verilen toplam para miktarlarını küçükten büyüğe inceleyelim:
-
A Seçeneği (Toplam 6 TL):
2x = 6 \implies x = 3\text{ TL}- A kumbarası: 35 + 3 = 38
- B kumbarası: 13 + 3 = 16
- Her iki sayı da çift olduğu için ortak bölenleri 2’dir (\text{EBOB}(38, 16) = 2). Sayılar aralarında asal değildir.
-
B Seçeneği (Toplam 8 TL):
2x = 8 \implies x = 4\text{ TL}- A kumbarası: 35 + 4 = 39
- B kumbarası: 13 + 4 = 17
- 17 asal bir sayıdır ve 39’un bölenleri 1, 3, 13, 39’dur. İki sayının 1’den başka ortak böleni yoktur (\text{EBOB}(39, 17) = 1). Dolayısıyla sayılar aralarında asaldır.
-
C Seçeneği (Toplam 10 TL) ve D Seçeneği (Toplam 12 TL):
En az miktar sorulduğu için ve 8\text{ TL} şartı sağladığı için daha büyük değerleri incelemeye gerek yoktur.
Sonuç: Her iki kumbaraya 4\text{ TL} atıldığında toplam atılan para en az 8\text{ TL} olur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B — 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Aralarında Asal Sayılar: İki sayının kendileri asal olmak zorunda değildir; yalnızca ortak bölenlerinin sadece 1 olması yeterlidir (örneğin 39 asal değildir ancak 17 ile aralarında asaldır).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Soru kökündeki “toplam para miktarı” ifadesini gözden kaçırıp bulunan x = 4 değerini doğrudan işaretlemek veya şıklardaki değerleri tek bir kumbaraya atılan miktar zannetmek.- Doğru Yaklaşım: Her kumbaraya x atıldığı için toplam paranın 2x olduğunu baştan belirleyerek denklem kurmak.
Bu soru tipini pekiştirmek için aralarında asal sayılarla ilgili benzer bir alıştırma sorusu çözmek ister misin?
@sorumatik_ai 6. sınıf olarak çöz
Kumbaralardaki Paraların Aralarında Asal Olması (6. Sınıf Düzeyi)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Aralarında Asal Sayılar: 1 sayısı dışında hiçbir ortak böleni (çarpanı) olmayan sayılara denir.
- İki kumbaraya da eşit para atıldığı için, seçeneklerdeki toplam paraları $2$’ye bölerek her bir kumbaraya kaçar lira atıldığını buluruz.
ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:
Soruda bizden toplam paranın en az kaç lira olduğu istendiği için, seçenekleri en küçükten başlayarak deneyelim:
-
A Seçeneği (Toplam 6 TL):
- Her bir kumbaraya atılan para: 6 \div 2 = 3\text{ TL}
- A Kumbarası: 35 + 3 = 38\text{ TL}
- B Kumbarası: 13 + 3 = 16\text{ TL}
- 38 ve 16 sayılarının ikisi de çift sayıdır, yani her ikisi de $2$’ye tam bölünür. Ortak bölenleri 2 olduğu için bu iki sayı aralarında asal değildir.
-
B Seçeneği (Toplam 8 TL):
- Her bir kumbaraya atılan para: 8 \div 2 = 4\text{ TL}
- A Kumbarası: 35 + 4 = 39\text{ TL}
- B Kumbarası: 13 + 4 = 17\text{ TL}
- 17 sayısının bölenleri sadece 1 ve $17$’dir.
- 39 sayısı $17$’ye bölünmez ($39$’un bölenleri: 1, 3, 13, 39).
- Bu iki sayının $1$’den başka hiçbir ortak böleni yoktur. Bu yüzden 39 ve 17 sayıları aralarında asaldır.
-
C ve D Seçenekleri (10 TL ve 12 TL):
Bizden en az miktar istendiği ve 8\text{ TL} şartı sağladığı için daha büyük sayıları denememize gerek yoktur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B — 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Bölen: İki sayıyı da kalansız bölen sayılardır. İki sayının 1’den başka ortak böleni yoksa o sayılar arkadaş gibi birbirine özeldir ve “aralarında asal” adını alır.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Şıklardaki sayıları tek bir kumbaraya atılan para sanıp direkt 35 ve 13’e eklemek.
- Doğru Yaklaşım: “İki kumbaraya atılan toplam para” dendiği için şıktaki değerleri önce 2’ye bölüp kumbaralara birer birer eklemek.
Konuyu daha iyi kavramak için çarpanlar ve bölenlerle ilgili benzer bir örnek çözmek ister misin?
@sorumatik_ai o 35 değil anladın mı
Haklısın, baskı kalitesinden dolayı görseldeki sayı farklı görünüyor olabilir.
Eğer elindeki kitapta A Kumbarası 35 yerine başka bir sayı olarak verilmişse, hangi sayı olduğuna göre çözüm şu şekilde değişir:
Durum 1: Eğer A Kumbarası 36\text{ TL} ise:
İki kumbaraya da eşit para ekleneceği için seçenekleri 2’ye bölerek deneriz:
- A Seçeneği (Toplam 6 TL \rightarrow Her birine 3\text{ TL}):
- A Kumbarası: 36 + 3 = 39\text{ TL}
- B Kumbarası: 13 + 3 = 16\text{ TL}
- 39’un bölenleri: 1, 3, 13, 39
- 16’nın bölenleri: 1, 2, 4, 8, 16
- Ortak bölenleri sadece 1 olduğu için bu iki sayı aralarında asaldır.
Cevap: A (6) olur.
Durum 2: Eğer A Kumbarası 38\text{ TL} ise:
- A Seçeneği (Toplam 6 TL \rightarrow Her birine 3\text{ TL}):
- A Kumbarası: 38 + 3 = 41\text{ TL} (41 asal sayıdır)
- B Kumbarası: 13 + 3 = 16\text{ TL}
- Ortak bölenleri sadece 1 olduğu için aralarında asal olurlar.
- Cevap yine: A (6) olur.
Durum 3: Eğer sayı 35\text{ TL} ise:
- Toplam 6\text{ TL} eklendiğinde (+3\text{ TL}):
- 35 + 3 = 38 ve 13 + 3 = 16 (İkisi de çift olduğu için aralarında asal olmaz).
- Toplam 8\text{ TL} eklendiğinde (+4\text{ TL}):
- 35 + 4 = 39 ve 13 + 4 = 17 (Aralarında asal olur).
- Cevap: B (8) olur.
Kitabında A kumbarasının üzerinde tam olarak hangi sayı yazıyor? Sayıyı söylersen hemen o sayıya göre tam adım adım çözelim!