a gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu
f(x) = x^2 + a
biçiminde veriliyor.
f'(f(x)) = f(f'(x))
eşitliğini sağlayan x gerçel sayılarının çarpımı -4 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 64
B) 16
C) 8
D) 4
E) 2
Bileşke Fonksiyon ve Polinom Türevi Eşitliği
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir polinom fonksiyonun türevi kuvvet kuralı (\frac{d}{dx}[x^n] = n x^{n-1}) ile bulunur. Bileşke fonksiyon işleminde ise içteki fonksiyonun çıktısı, dıştaki fonksiyonda girdi olarak yerine yazılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Fonksiyonun Türevini Alma
f(x) = x^2 + a fonksiyonunun türevi kuvvet kuralı uygulanarak bulunur:
f'(x) = 2x
Adım 2 — Bileşke İfadelerini Oluşturma
Eşitliğin sol tarafı için f'(x) fonksiyonunda x yerine f(x) yazılır:
f'(f(x)) = 2 \cdot f(x) = 2(x^2 + a) = 2x^2 + 2a
Eşitliğin sağ tarafı için f(x) fonksiyonunda x yerine f'(x) yazılır:
f(f'(x)) = (f'(x))^2 + a = (2x)^2 + a = 4x^2 + a
Adım 3 — Eşitliği Çözme ve Kökler Çarpımını Bulma
Verilen f'(f(x)) = f(f'(x)) eşitliğinde elde edilen ifadeler birbirine eşitlenir:
2x^2 + 2a = 4x^2 + a \implies 2x^2 = a \implies x^2 = \frac{a}{2}
Bu denklemin gerçel kökleri x = \pm \sqrt{\frac{a}{2}} olur. Kökler çarpımı ise:
x_1 \cdot x_2 = -\frac{a}{2}
Soruda köklerin çarpımı -4 olarak verildiğinden:
-\frac{a}{2} = -4 \implies a = 8
CEVAP: C) 8 (a = 8)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: f'(f(x)) ile (f(f(x)))' ifadeleri sıklıkla karıştırılır. Burada türevin bileşkesi alınmakta olup zincir kuralı uygulanmaz; önce türev alınıp ardından bileşke değeri yerine konulur.