a gerçek sayı olmak üzere,
-9 < 3a \leq 16 - a
eşitsizliği veriliyor.
Buna göre, 2a ifadesinin kaç farklı tam sayı değeri vardır?
A) 15
B) 14
C) 13
D) 12
E) 11
-9 < 3a \leq 16 - a Eşitsizliğine Göre 2a İfadesinin Alabileceği Tam Sayı Değerleri Sayısı
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Birleşik eşitsizlikler iki ayrı eşitsizlik şeklinde çözülür ve ortak kesişim kümesi alınır:
- A < B \leq C \iff A < B \text{ ve } B \leq C
- a bir gerçel (reel) sayı olduğunda, istenen ifadenin (2a) aralığı doğrudan eşitsizliğin genişletilmesiyle bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sol Eşitsizliği Çözme
Birleşik eşitsizliğin sol kısmını ele alalım:
-9 < 3a
Her iki tarafı 3’e bölelim:
-3 < a
Adım 2 — Sağ Eşitsizliği Çözme
Birleşik eşitsizliğin sağ kısmını ele alalım:
3a \leq 16 - a
-a ifadesini sol tarafa +a olarak geçirelim:
3a + a \leq 16
4a \leq 16
Her iki tarafı 4’e bölelim:
a \leq 4
Adım 3 — a İçin Çözüm Aralığını Belirleme
Bulunan iki sonucu birleştirelim:
-3 < a \leq 4
Adım 4 — 2a İfadesinin Değer Aralığını Bulma
a bir gerçel sayı olduğu için a’ya tam sayı değerleri vermek yerine eşitsizliği 2 ile çarpalım:
2 \cdot (-3) < 2 \cdot a \leq 2 \cdot 4
-6 < 2a \leq 8
Adım 5 — 2a’nın Alabileceği Tam Sayı Değerlerini Sayma
2a ifadesinin alabileceği tam sayı değerleri şunlardır:
\{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}
Terim sayısı formülü ile hesaplayalım:
\text{Terim Sayısı} = \text{Son Terim} - \text{İlk Terim} + 1
\text{Terim Sayısı} = 8 - (-5) + 1 = 8 + 5 + 1 = 14
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B şıkkı (14)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Gerçel (Reel) Sayı Şartı
- Tanım: Soruda bilinmeyenin gerçel sayı olduğu belirtildiğinde, ifadenin aralığı basit eşitsizlik özellikleri kullanılarak üretilir.
- Bu problemde: a’ya doğrudan tam sayı değerleri vermek yerine -3 < a \leq 4 eşitsizliği 2 ile çarpılarak 2a aralığı oluşturuldu.
SIK YAPILAN HATALAR:
a’ya Önceden Tam Sayı Değeri Vermek
- Yanlış: a \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\} diyerek 2a için 7 farklı değer bulmak.
- Doğru: a gerçel sayı olduğu için örneğin a = 3{,}5 olduğunda 2a = 7 tam sayı değerini alır. Bu yüzden aralık 2 ile genişletilerek çözülmelidir.
- Neden yanlış: Soruda “a bir tam sayı” değil, “a bir gerçek sayı” ve “2a bir tam sayı” denmektedir.
Benzer tipte bir eşitsizlik ve değer aralığı sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?