Bu sayfada yer alan logaritma sorularının ayrıntılı ve adım adım çözümleri aşağıdadır:
Soru 52: Logaritmada Sıralama ve Eşitsizlik
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \log_m n ifadesinde:
- Taban ve içerideki sayı 1’in aynı tarafında ise (0 < m, n < 1 veya m, n > 1) sonuç pozitiftir (> 0).
- Taban ve içerideki sayı 1’in farklı taraflarında ise sonuç negatiftir (< 0).
- Taban 0 < m < 1 iken logaritma fonksiyonu azalandır: x_1 < x_2 \iff \log_m x_1 > \log_m x_2.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
-
Öncül I Analizi (\log_b a > 1):
0 < a < b < 1 verilmiştir. Taban olan b, 0 ile 1 arasında olduğundan fonksiyon azalandır.
a < b \implies \log_b a > \log_b b \implies \log_b a > 1 \quad \text{(Kesinlikle Doğru)}
-
Öncül II Analizi (\log_a b > 0):
Hem a hem de b sayıları (0, 1) aralığındadır. İkisi de 1’den küçük ve pozitif olduğu için:
\log_a b > 0 \quad \text{(Kesinlikle Doğru)}
-
Öncül III Analizi (\log_c b < 0):
c > 1 (artan taban) ve 0 < b < 1’dir.
b < 1 \implies \log_c b < \log_c 1 \implies \log_c b < 0 \quad \text{(Kesinlikle Doğru)}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı — I, II ve III (veya verilen seçeneklere göre I ve II)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 53: İçi İçe Logaritma Denklemi (2013 - LYS 1)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\log_a b = c \iff b = a^c \quad \text{ve} \quad \log_a (a^n) = n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Dıştaki Logaritmayı Çözme
\log_8 \left( \log_9 (\sqrt{x+1}) \right) = -\frac{1}{3}
Logaritma tanımından:
\log_9 (\sqrt{x+1}) = 8^{-\frac{1}{3}} = \left(2^3\right)^{-\frac{1}{3}} = 2^{-1} = \frac{1}{2}
Adım 2 — İçteki Logaritmayı Çözme
\sqrt{x+1} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3
Her iki tarafın karesini alalım:
x + 1 = 3^2 = 9 \implies x = 8
Adım 3 — İstenen Değeri Bulma
Soruda \log_2 x değeri sorulmaktadır:
\log_2 x = \log_2 8 = \log_2 (2^3) = 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 54: Logaritma Fonksiyonunda Değer Bulma (2015 - LYS 1)
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\log_a b = c \iff b = a^c
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Değeri Fonksiyonda Yerine Yazma
f(x) = \log_x (x-k) olduğuna göre x = 3k yazalım:
f(3k) = \log_{3k} (3k - k) = \log_{3k} (2k) = \frac{2}{3}
Adım 2 — Üslü İfadeye Dönüştürme ve k’yı Bulma
2k = (3k)^{\frac{2}{3}}
Her iki tarafın küpünü alalım:
(2k)^3 = \left((3k)^{\frac{2}{3}}\right)^3
8k^3 = (3k)^2 \implies 8k^3 = 9k^2
k pozitif bir gerçel sayı (k > 0) olduğundan her iki tarafı k^2’ye bölebiliriz:
8k = 9 \implies k = \frac{9}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \frac{9}{8}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 55: Taban Özellikleri ve Değer Hesaplama
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\log_a (a^n) = n, \quad \ln(e^n) = n, \quad \log(10^n) = n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
İfade: \log_2 16 + \ln e^3 - \log 100
Adım 1 — Her Terimin Değerini Ayrı Ayrı Bulma
- \log_2 16 = \log_2 (2^4) = 4
- \ln e^3 = 3
- \log 100 = \log_{10} (10^2) = 2
Adım 2 — İşlemi Tamamlama
4 + 3 - 2 = 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 5
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 56: Logaritmik Rasyonel Denklem
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\log 10 = 1, \quad \ln e^2 = 2, \quad \log_5 5^2 = 2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Verilen denklem: \frac{\log 10 + \ln e^2}{x - \log_5 5^2} = \frac{1}{2}
Adım 1 — Pay ve Paydadaki Logaritmik İfadeleri Sadeleştirme
- Pay: \log 10 + \ln e^2 = 1 + 2 = 3
- Payda: x - \log_5 5^2 = x - 2
Adım 2 — Denklemi Çözme
\frac{3}{x - 2} = \frac{1}{2}
İçler dışlar çarpımı yapalım:
x - 2 = 6 \implies x = 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 8
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 57: İçi İçe Logaritmik Denklem
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\log_{10} A = 1 \iff A = 10^1 = 10
ÇÖZÜM ADIMLARI:
\log [8 + \log_3 (x-2)] = 1
Adım 1 — Dış Logaritmayı Açma
8 + \log_3 (x-2) = 10^1 = 10
\log_3 (x-2) = 10 - 8 = 2
Adım 2 — İç Logaritmayı Açma
x - 2 = 3^2 = 9
x = 9 + 2 = 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Soru 58: Logaritma Kuvvet Kuralı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
\ln (x^n) = n \cdot \ln x
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Verilen: \ln x = 3{,}14
İstenen: \ln (x^2)
Adım 1 — Üssü Başa Katsayı Olarak Alma
\ln (x^2) = 2 \cdot \ln x
Adım 2 — Değeri Yerine Yazma
2 \cdot 3{,}14 = 6{,}28
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 6,28
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu sorulardan özellikle kafana takılan veya benzerini çözmek istediğin belirli bir soru tipi var mı?
