Bileşik faiz,
A) Ana para
F1 Faiz
n1 Faiz oranı (%)
t1 Zaman
formülü ile hesaplanır.
A+F = A dot (1+n)^t
Her yıl, fiyatı %20 artan bir otomobilin fiyatı kaç yıl sonra 4 katına çıkar?
A) \frac{\log 2}{\log 3 + 1}
B) \frac{\log 3 + \log 2}{1 + \log 2}
C) \frac{2 \log 2}{\log (1,2)}
D) \log_{2} 3
E) \log 2 + \log 3 - 1
Bileşik Faiz ve Logaritma ile Zaman Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bileşik büyüme formülü: A_{\text{son}} = A \cdot (1 + n)^t
- Logaritma kuvvet kuralı: \log(a^b) = b \cdot \log a
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Değerleri Belirleme ve Denklemi Kurma
- Otomobilin başlangıç fiyatı: A
- Ulaşılması istenen son fiyat: 4A
- Yıllık artış oranı: n = \%20 = 0{,}2
- Geçen süre: t (yıl)
Verilen formülde son fiyat yerine 4A, faiz oranı yerine 0{,}2 yazalım:
4A = A \cdot (1 + 0{,}2)^t
Adım 2 — Denklemi Sadeleştirme
Her iki tarafı A değerine bölerek A’ları sadeleştirelim:
4 = (1{,}2)^t
Adım 3 — t Değerini Bulmak İçin Logaritma Uygulama
Eşitliğin her iki tarafının 10 tabanında logaritmasını alalım:
\log(4) = \log(1{,}2^t)
Logaritmanın üs kuralını (\log(a^b) = b \log a) uygulayalım ve 4 = 2^2 şeklinde yazalım:
\log(2^2) = t \cdot \log(1{,}2)
2\log 2 = t \cdot \log(1{,}2)
t’yi yalnız bırakalım:
t = \frac{2\log 2}{\log(1{,}2)}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C Seçeneği — \dfrac{2\log 2}{\log(1,2)}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Üstel Büyüme ve Logaritma İlişkisi: Bilinmeyenin üste (t) bulunduğu üstel denklemleri çözmek için her iki tarafın logaritması alınarak üs katsayı olarak başa indirilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 4 katına çıkmayı basit faiz gibi düşünüp 4 \times 20 = 80 veya 4 = 1 + 0{,}2t doğrusal denklemi kurmak.- Doğru Yaklaşım: Her yıl bir önceki yılın fiyatı üzerinden \%20 artış gerçekleştiğinden (1{,}2)^t şeklinde üstel modelleme yapmak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?