a eşittir doksan üssü İkş eksi atmış üssü iki artı on beş üssü İkş olduğuna göre a sayısının asal çarpanları toplamı kaçtır
A = 90^2 - 60^2 + 15^2 Sayısının Asal Çarpanları Toplamı
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Ortak Çarpan Parantezi: a \cdot x + a \cdot y = a(x + y)
- Üslü İfade Çarpanlara Ayırma: (x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n
- Asal Çarpan: Bir doğal sayıyı tam bölen asal sayılardır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Terimleri Ortak Çarpan Parantezine Alınabilecek Şekilde Düzenleme
Verilen ifadedeki her bir taban (90, 60 ve 15), 15’in bir tam katıdır:
- 90^2 = (15 \times 6)^2 = 15^2 \times 6^2
- 60^2 = (15 \times 4)^2 = 15^2 \times 4^2
- 15^2 = 15^2 \times 1^2
İfadeyi 15^2 ortak parantezine alalım:
A = 15^2 \cdot (6^2 - 4^2 + 1^2)
Adım 2 — Parantez İçindeki İşlemleri Yapma
Parantez içindeki sayıların karelerini hesaplayıp toplayalım:
6^2 - 4^2 + 1^2 = 36 - 16 + 1 = 21
Böylece A sayısı şu hale gelir:
A = 15^2 \times 21
Adım 3 — Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırma
Elde edilen çarpanları asal tabanlar cinsinden yazalım:
- 15^2 = (3 \times 5)^2 = 3^2 \times 5^2
- 21 = 3 \times 7
Bu değerleri yerine yazıp üsleri toplayalım:
A = 3^2 \times 5^2 \times 3^1 \times 7^1
A = 3^3 \times 5^2 \times 7^1
Adım 4 — Asal Çarpanları Belirleme ve Toplama
A sayısının tabanında bulunan farklı asal sayılar şunlardır:
\text{Asal Çarpanlar} = \{3, 5, 7\}
Bu asal çarpanların toplamı:
3 + 5 + 7 = 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Çarpan Parantezine Alma
- Tanım: Büyük üslü sayıların değerlerini tek tek hesaplamak yerine, terimlerin en büyük ortak böleninin üssünü parantez dışına alma yöntemidir.
- Bu problemde: 90, 60 ve 15 sayılarının ortak katı olan 15^2 parantezine alınarak işlem kolaylığı sağlanmıştır.
2. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir pozitif tam sayının yalnızca asal sayıların kuvvetleri çarpımı şeklinde yazılmasıdır.
- Bu problemde: A sayısı 3^3 \times 5^2 \times 7^1 şeklinde düzenlenmiş ve tabandaki asal sayılar (3, 5, 7) tespit edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üsleri de Toplama Hatası
- Yanlış: Asal çarpanlar toplamı sorulduğunda üsleri de hesaba katarak (3 \times 3) + (5 \times 2) + 7 = 26 yapmak.
- Doğru: Sadece tabandaki farklı asal sayıları (3 + 5 + 7 = 15) toplamak.
- Neden yanlış: Bir sayının asal çarpanları tabandaki asal değerlerdir; üsler o asal çarpanın kaç kez tekrar ettiğini belirtir.
Benzer tipte çarpanlara ayırma ve asal çarpan sorularıyla konuyu pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_uzman_bot evet
B = 75^2 - 45^2 + 15^2 Sayısının Asal Çarpanları Toplamı
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Ortak Çarpan Parantezi: x \cdot a + y \cdot a = a \cdot (x + y)
- Üslü Sayılarda Çarpma: (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n
- Asal Çarpan: Bir pozitif tam sayıyı tam bölen asal sayılardır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İfadeleri Ortak Çarpan Parantezine Alınacak Şekilde Parçalama
Verilen ifadedeki tabanların (75, 45, 15) en büyük ortak böleni 15’tir. Her bir terimi 15 cinsinden yazalım:
- 75^2 = (15 \times 5)^2 = 15^2 \times 5^2
- 45^2 = (15 \times 3)^2 = 15^2 \times 3^2
- 15^2 = 15^2 \times 1^2
İfadeyi 15^2 parantezine alalım:
B = 15^2 \cdot (5^2 - 3^2 + 1^2)
Adım 2 — Parantez İçindeki İşlemleri Hesaplama
Parantez içindeki sayıların karelerini hesaplayalım:
5^2 - 3^2 + 1^2 = 25 - 9 + 1 = 17
İfade şu şekle gelir:
B = 15^2 \times 17
Adım 3 — Sayıyı Asal Tabanlar Halinde Yazma
15 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- 15 = 3 \times 5 \implies 15^2 = (3 \times 5)^2 = 3^2 \times 5^2
- 17 zaten bir asal sayıdır (17^1).
Bu çarpanları bir araya getirelim:
B = 3^2 \times 5^2 \times 17^1
Adım 4 — Asal Çarpanları Belirleme ve Toplama
B sayısının tabanında yer alan farklı asal sayılar:
\text{Asal Çarpanlar} = \{3, 5, 17\}
Bu asal çarpanların toplamı:
3 + 5 + 17 = 25
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 25
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Ortak Çarpan Paranteziyle Sadeleştirme
- Tanım: Büyük sayıların karelerini doğrudan hesaplamak yerine tabanların ortak bölenini parantez dışına çıkararak işlem basitleştirme tekniğidir.
- Bu problemde: 75, 45 ve 15 sayılarının kareleri yerine 15^2 dışarı alınarak parantez içi 17 gibi sade bir asal sayıya dönüştürülmüştür.
2. Asal Çarpanların Toplamı
- Tanım: Asal çarpanlarına ayrılmış bir ifadede üsler dikkate alınmaksızın yalnızca tabandaki asal sayıların toplanması işlemidir.
- Bu problemde: 3^2 \times 5^2 \times 17^1 ifadesindeki tabanlar (3, 5, 17) toplanarak 25 sonucuna ulaşılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Parantez İçindeki 1 Değerini Unutma
- Yanlış: 15^2 parantezine alırken son terimi yok sayıp 5^2 - 3^2 = 16 olarak hesaplamak.
- Doğru: 15^2 = 15^2 \times 1 olduğu için parantez içine mutlaka +1 eklemek (25 - 9 + 1 = 17).
- Neden yanlış: Parantezi tekrar dağıttığımızda ilk ifadenin aynısını elde edebilmemiz için katsayısı 1 olan terimin parantez içinde korunması gerekir.
İki kare farkı özdeşliği (a^2 - b^2) içeren asal çarpan sorularının pratik çözüm yöntemini de incelemek ister misin?
C = 43^2 - 17^2 Sayısının Asal Çarpanları Toplamı
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- İki Kare Farkı Özdeşliği: a^2 - b^2 = (a - b) \cdot (a + b)
- Asal Çarpanlara Ayırma: Bir sayıyı yalnızca asal sayıların kuvvetleri biçiminde ifade etme yöntemi.
- Asal Çarpan: 1’den ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1’den büyük doğal sayılardır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İki Kare Farkı Özdeşliğini Uygulama
Büyük sayıların karelerini tek tek hesaplamak yerine iki kare farkı kuralını uygulayalım:
C = (43 - 17) \cdot (43 + 17)
Adım 2 — Parantez İçindeki İşlemleri Yapma
Çıkarma ve toplama işlemlerini tamamlayalım:
- 43 - 17 = 26
- 43 + 17 = 60
Buradan ifademiz şu hale gelir:
C = 26 \times 60
Adım 3 — Çarpanları Asal Tabanlara Ayırma
Elde edilen 26 ve 60 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım:
- 26 = 2 \times 13
- 60 = 4 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5
Bu asal çarpanları birleştirelim:
C = (2 \times 13) \times (2^2 \times 3 \times 5)
C = 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \times 13^1
Adım 4 — Asal Çarpanları Belirleme ve Toplama
C sayısının asal çarpanları tabandaki farklı asal sayılardır:
\text{Asal Çarpanlar} = \{2, 3, 5, 13\}
Bu asal çarpanların toplamı:
2 + 3 + 5 + 13 = 23
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 23
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İki Kare Farkı Özdeşliği
- Tanım: İki sayının karelerinin farkını, bu sayıların farkı ile toplamının çarpımı şeklinde yazarak çarpanlarına ayırma kuralıdır.
- Bu problemde: 43^2 ve 17^2 işlemlerini hesaplamak yerine (43 - 17) \cdot (43 + 17) yazılarak 26 \times 60 çarpımına kolayca ulaşılmıştır.
2. Asal Çarpanlar Kümesi
- Tanım: Bir sayının asal çarpanlar gösterimindeki üsler ihmal edilerek tabanda yer alan asal sayıların oluşturduğu kümedir.
- Bu problemde: 2^3 \times 3^1 \times 5^1 \times 13^1 gösteriminde tabandaki 2, 3, 5 ve 13 değerleri asal çarpan olarak alınmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıların Doğrudan Farkını Alma Hatası
- Yanlış: 43^2 - 17^2 ifadesini (43 - 17)^2 = 26^2 şeklinde yazmak.
- Doğru: a^2 - b^2 \neq (a - b)^2 olduğunu bilip (a - b)(a + b) şeklinde çarpanlara ayırmak.
- Neden yanlış: (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 açılımına eşittir ve ortadaki -2ab terimi fazladan eklenmiş olur.
Faktöriyel içeren ifadelerde asal çarpan veya bölen sayısı bulma sorularıyla devam etmek ister misin?