a doğal sayısı, b doğal sayısının 2 katına eşittir ve EKOK(a, b) = 20’dir.
Buna göre EKOK(b, c) kaçtır?
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
Doğal Sayılarda EKOK Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Biri diğerinin tam katı olan iki doğal sayının en küçük ortak katı (\text{EKOK}), her zaman büyük olan sayıya eşittir:k \in \mathbb{Z}^+ \text{ olmak üzere, } \text{EKOK}(k \cdot x, x) = k \cdot x
- İki sayının asal çarpanlarına ayrılarak \text{EKOK} hesabı: Ortak asal çarpanlardan üssü büyük olanlar ile ortak olmayan asal çarpanların çarpımı alınır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a ve b Doğal Sayılarını Bulma
Soruda a sayısının b sayısının 2 katı olduğu belirtilmiştir:
a = 2b
Biri diğerinin katı olan iki sayıda \text{EKOK} büyük sayıya eşit olduğundan:
\text{EKOK}(a, b) = \text{EKOK}(2b, b) = 2b = a
Soruda \text{EKOK}(a, b) = 20 olarak verildiğine göre:
a = 20
2b = 20 \implies b = 10
Adım 2 — c Doğal Sayısını Bulma
b ile c sayılarının toplamının 35 olduğu verilmiştir:
b + c = 35
10 + c = 35 \implies c = 25
Adım 3 — \text{EKOK}(b, c) Değerini Hesaplama
Bulunan b = 10 ve c = 25 sayılarının en küçük ortak katını bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayıralım:
10 = 2 \cdot 5
25 = 5^2
Ortak asal çarpanların en büyük üsleri ile ortak olmayan çarpanları çarparız:
\text{EKOK}(10, 25) = 2^1 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 50
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kat Olan Sayılarda EKOK: Pozitif iki tam sayıdan biri diğerinin tam katı ise \text{EBOB} küçük sayıya, \text{EKOK} ise büyük sayıya eşittir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Biri diğerinin katı olan sayıların \text{EKOK}'unu bulurken iki sayıyı doğrudan birbiriyle çarpmak (a \cdot b = 20 \implies b^2 \cdot 2 = 20).- Doğru Yaklaşım: Yalnızca aralarında asal sayıların \text{EKOK}'u sayıların çarpımına eşittir. Biri diğerinin katı olduğunda büyük sayı doğrudan \text{EKOK} değerini verir.
Benzer bir \text{EBOB-EKOK} sorusu ile pratik yapmak ister misin?