A , çubuğun I

Question Answer
1

Aşağıda verilen çarklar ok yönünde döndürüldüklerinde bir turlarını 36 saniyede tamamlarlar. I. çark üç eş parçaya, II. çark dört eş parçaya ayrılmıştır. Ekranın sağ ve solundaki çubuklar, çarklardaki gösterilen bölgenin tam orta noktasına değmektedir.
a , çubuğun I. çarkta gösterdiği bölgede yazan sayıya ve b, çubuğun II. çarkta gösterdiği sayıya karşılık gelmektedir. İki çark aynı anda ok yönünde döndürülüyor ve çarklar 96 saniye sonra duruyorlar.
Buna göre a^b üslü ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşit olur?
A) -\frac{1}{27}
B) -\frac{1}{8}
C) \frac{1}{9}
D) \frac{1}{16}

Aşağıda verilen çarklar ok yönünde döndürüldüklerinde bir turlarını 36 saniyede...
Aşağıda verilen çarklar ok yönünde döndürüldüklerinde bir turlarını 36 saniyede...1024×600 63.5 KB

2

Dairesel Çarklarda Dönme ve Üslü İfadeler

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir tam turunu 360^\circ’de tamamlayan bir çarkın açısal hızı \omega = \frac{360^\circ}{T} formülüyle bulunur. Periyodik dönme hareketinde geçen süre periyoda bölünerek kalan dönme açısı hesaplanır ve negatif üs kuralı (x^{-n} = \frac{1}{x^n}) uygulanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Dönme Süresi ve Kalan Açının Hesaplanması
Her iki çark da 1 tam turunu (360^\circ) 36 saniyede tamamlamaktadır. Çarkların 1 saniyedeki dönme miktarı:

\text{Açısal Hız} = \frac{360^\circ}{36\text{ sn}} = 10^\circ/\text{sn}

96 saniye sonraki konumları bulmak için geçen sürenin 36 saniyelik periyoda göre kalanı hesaplanır:

96 = 2 \times 36 + 24\text{ saniye}

Çarklar 2 tam tur attıktan sonra 24 saniye daha dönmeye devam eder. 24 saniyedeki dönme açısı:

\theta = 24\text{ sn} \times 10^\circ/\text{sn} = 240^\circ

Adım 2 — I. Çarkın Analizi ve a Değerinin Bulunması

  • I. çark 3 eş parçaya ayrılmıştır; her bir dilim \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ’dir (12 saniyeye karşılık gelir).
  • Ekranın solundaki gösterge çubuğu saat 3 yönünde sabit durmakta ve başlangıçta -2 sayısının tam ortasını göstermektedir.
  • Çark ok yönünde (saat yönünde) 240^\circ döndürüldüğünde, çark üzerindeki bölgeler saat yönünde ilerler. Çubuğun hizasına başlangıçta saat yönünün tersinde 240^\circ (2 \times 120^\circ, yani 2 bölge) geride bulunan 4 sayısı gelir.
a = 4

Adım 3 — II. Çarkın Analizi ve b Değerinin Bulunması

  • II. çark 4 eş parçaya ayrılmıştır; her bir dilim \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ’dir (9 saniyeye karşılık gelir).
  • Ekranın sağındaki gösterge çubuğu saat 9 yönünde sabit durmakta ve başlangıçta 2 sayısının tam ortasındadır (sınır çizgisine 45^\circ / 4{,}5 sn uzaklıktadır).
  • Çark ok yönünde (saat yönünün tersine) döndüğünde dilimlerin göstergeye ulaşma süreleri:
    • 0 - 4{,}5\text{ sn} arası: 2 bölgesinden çıkış
    • 4{,}5 - 13{,}5\text{ sn} arası: -3 bölgesinin geçişi
    • 13{,}5 - 22{,}5\text{ sn} arası: 3 bölgesinin geçişi
    • 22{,}5 - 31{,}5\text{ sn} arası: -2 bölgesinin geçişi
    1. saniyede (240^\circ) ibre -2 bölgesinin sınırları içerisinde kalır.
b = -2

Adım 4 — a^b Üslü İfadesinin Hesaplanması
Bulunan a = 4 ve b = -2 değerleri yerine konur:

a^b = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}

:white_check_mark: CEVAP: D) \frac{1}{16} (a^b = 4^{-2} = \frac{1}{16})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Çark döndüğünde gösterge sabit kaldığı için, göstergenin altına çarkın dönme yönünün tersindeki sayılar gelir. Bölme sınırları tek tek saniye cinsinden hesaplanarak (orta noktadan başlandığı için ilk yarı dilim 4{,}5 saniyedir) 24 saniyenin hangi dilime denk geldiği hatasız tespit edilmelidir.