- a veb birer doğal sayı olmak üzere,
a
-b =3k-6
eşitliği veriliyor.
a + b’nin alabileceği en büyük değer 2k + 7 olduğuna
göre, a + b’nin alabileceği en küçük değer kaçtır?1 10
B) 11
c) 12
D) 13
E) 14
O’dar
kutu
yerl
a \cdot b = 3k - 6 Eşitliğinde a + b Toplamının Değer Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Çarpımları sabit olan iki doğal sayının toplamının (a + b) alabileceği değerler hakkında şu iki kural geçerlidir:
- En Büyük Değer: Sayılar birbirine en uzak seçildiğinde (genellikle biri 1 seçilerek) elde edilir.
- En Küçük Değer: Sayılar birbirine en yakın (mümkünse eşit veya ardışık) seçildiğinde elde edilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çarpımın En Uzak Çarpanlarını Belirleme
a ve b birer doğal sayı olduğuna göre, a \cdot b = 3k - 6 çarpımında toplamın en büyük olması için sayıları birbirine en uzak seçmeliyiz. Bu durumda çarpanlardan birini 1, diğerini sayının kendisi (3k - 6) olarak alırız.
- a = 1
- b = 3k - 6
- a + b (en büyük) = 1 + (3k - 6) = 3k - 5
Adım 2 — k Değerini Bulma
Soruda a + b toplamının en büyük değerinin 2k + 7 olduğu verilmiş. Bulduğumuz sonucu bu ifadeye eşitleyelim:
- 3k - 5 = 2k + 7
- 3k - 2k = 7 + 5
- k = 12
Adım 3 — Çarpımın Sayısal Değerini Hesaplama
Bulduğumuz k değerini başlangıçtaki çarpım denkleminde yerine koyalım:
- a \cdot b = 3k - 6
- a \cdot b = 3(12) - 6
- a \cdot b = 36 - 6 = 30
Adım 4 — En Küçük Toplam Değerini Bulma
Çarpımları 30 olan a ve b doğal sayılarının toplamının en küçük olması için sayıları birbirine en yakın seçmeliyiz. 30 sayısının çarpanlarını inceleyelim:
- 1 \times 30 \rightarrow 1 + 30 = 31
- 2 \times 15 \rightarrow 2 + 15 = 17
- 3 \times 10 \rightarrow 3 + 10 = 13
- 5 \times 6 \rightarrow 5 + 6 = 11
Birbirine en yakın çarpanlar 5 ve 6’dır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 11
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğal Sayılar
- Tanım: 0, 1, 2, 3, \dots şeklinde sonsuza giden sayılardır.
- Bu problemde: Çarpımın sonucunun pozitif bir tam sayı olması gerektiğini teyit etmemizi sağlar.
2. Çarpanlar ve Toplam İlişkisi
- Tanım: Çarpımları sabit olan iki sayı yaklaştıkça toplam küçülür, uzaklaştıkça toplam büyür.
- Bu problemde: En büyük değer için (1, 30), en küçük değer için (5, 6) çiftlerini kullandık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sayıları Farklı Seçmemek
- Yanlış: Soruda aksi belirtilmedikçe (örneğin “farklı doğal sayılar” denmedikçe) sayılar eşit alınabilir. Ancak 30 bir tam kare olmadığı için tam eşitlik mümkün değildir.
- Doğru: Çarpan listesinden en yakın olan 5 ve 6 seçilmelidir.
- Neden Yanlış: Aradaki farkı gözetmemek hatalı toplama götürür.
Bu çözümdeki adımların benzer mantığını kullanarak farklı k değerleri için deneme yapmak ister misin?