a bir tam sayı olmak üzere;
- y = 2x^2 + (a - 3)x + 3 parabolünün tepe noktasının y-ekseninin sağ tarafında
olduğu bilinmektedir.
Buna göre a tam sayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Parabollerin Tepe Noktalarının Konumuna Göre a Tam Sayı Değerleri Toplamı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
y = ax^2 + bx + c parabolünün tepe noktasının apsisi (r):
r = -\frac{b}{2a}
- Tepe noktası y-ekseninin sol tarafında ise: r < 0
- Tepe noktası y-ekseninin sağ tarafında ise: r > 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Birinci Parabolün Tepe Noktasını İnceleme
y = x^2 + (a + 2)x + 5 parabolünde katsayılar: a_1 = 1, b_1 = a + 2, c_1 = 5
Tepe noktasının apsisi (r_1):
r_1 = -\frac{a + 2}{2 \cdot 1} = -\frac{a + 2}{2}
Tepe noktası y-ekseninin sol tarafında olduğundan r_1 < 0 olmalıdır:
-\frac{a + 2}{2} < 0 \implies a + 2 > 0 \implies a > -2
Adım 2 — İkinci Parabolün Tepe Noktasını İnceleme
y = 2x^2 + (a - 3)x + 3 parabolünde katsayılar: a_2 = 2, b_2 = a - 3, c_2 = 3
Tepe noktasının apsisi (r_2):
r_2 = -\frac{a - 3}{2 \cdot 2} = -\frac{a - 3}{4}
Tepe noktası y-ekseninin sağ tarafında olduğundan r_2 > 0 olmalıdır:
-\frac{a - 3}{4} > 0 \implies a - 3 < 0 \implies a < 3
Adım 3 — Eşitsizliklerin Kesişimini ve a Tam Sayı Değerlerini Bulma
Her iki koşulun aynı anda sağlanması için eşitsizlikleri birleştirelim:
-2 < a < 3
Bu aralıktaki a tam sayıları:
a \in \{-1, 0, 1, 2\}
Adım 4 — Değerlerin Toplamını Hesaplama
(-1) + 0 + 1 + 2 = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C şıkkı (2)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Parabolün Tepe Noktası (T(r, k))
- Tanım: Parabolün simetri eksenini belirleyen ve en büyük ya da en küçük değerini aldığı noktadır. Apsisi r = -\frac{b}{2a} formülü ile bulunur.
- Bu problemde: Tepe noktasının y-ekseninin sağı veya solunda olması, apsis değeri olan r’nin işaretini (r > 0 veya r < 0) belirlemiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Eşitsizlikte Negatif İşareti Unutmak
- Yanlış: r = \frac{b}{2a} < 0 şeklinde formüldeki eksi işaretini yazmadan işlem yapmak.
- Doğru: Formül r = -\frac{b}{2a} şeklindedir; eksi işareti eşitsizliğin yön değiştirmesine neden olur.
- Neden yanlış: Formüldeki eksi işareti hesaba katılmadığında a için tam tersi aralıklar bulunur ve yanlış sonuca ulaşılır.
Parabollerde simetri ekseni veya tepe noktası ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmemi ister misin?